第25页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

B

$-2$

$2$

$4$

D

 解：两边直接开平方，得$x-1=\pm\frac{3}{2}，$

 所以$x_1=\frac{5}{2}，$$x_2=-\frac{1}{2}$

 解：配方，得$x^2+2x+1=1+1，$即$(x+1)^2=2，$

 两边开平方得$x+1=\pm\sqrt{2}，$

 所以$x_1=-1+\sqrt{2}，$$x_2=-1-\sqrt{2}$

 解：移项，得$2(x+5)^2 - x(x+5)=0，$

 因式分解，得$(x+5)[2(x+5)-x]=0，$

 即$(x+5)(x+10)=0，$

 所以$x+5=0$或$x+10=0，$

 解得$x_1=-10，$$x_2=-5$

 解：移项整理得$x^2+4x-6=0，$

 配方得$x^2+4x+4=6+4，$即$(x+2)^2=10，$

 开平方得$x+2=\pm\sqrt{10}，$

 所以$x_1=-2+\sqrt{10}，$$x_2=-2-\sqrt{10}$

 解：$\because 4x^2-5x+1=0，$

 $\therefore (4x-1)(x-1)=0，$

 $\therefore 4x-1=0$或$x-1=0，$

 $\therefore x_1=\frac{1}{4}，$$x_2=1$

【分析】
要解决这个问题，需先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$，且$a＞0$），解题思路是将原方程中所有项移到等号左侧，使右侧为0，再确定一次项的系数。具体步骤为：把原方程右边的$4x$移到左边，移项时要改变符号，整理成一般形式后即可找到一次项系数。
【解析】
解：将原方程$5x^2 -1 =4x$移项，把$4x$移到等号左侧，得到：$5x^2 -4x -1 =0$，该式符合$ax^2 +bx +c=0$（$a＞0$）的一般形式，其中一次项为$-4x$，因此一次项系数是$-4$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的一般形式
【点评】
本题考查一元二次方程一般形式的转化，核心是移项时注意符号变化，属于基础题型，需避免因符号错误导致失分。
【难度系数】
0.7

【分析】要解决这个问题，需先将给定方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据“不含一次项”的条件（一次项系数为0）建立关于m的方程，进而求解m的值。
【解析】先将方程$(2-x)^2 = m(2x-1)$展开并整理为一元二次方程的一般形式：
左边展开得：$4 - 4x + x^2$，右边展开得：$2mx - m$；
移项合并同类项：$x^2 - 4x + 4 - 2mx + m = 0$，即$x^2 + (-4 - 2m)x + (4 + m) = 0$；
因为方程不含一次项，所以一次项系数为0，即：$-4 - 2m = 0$；
解得：$m = -2$。
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的一般形式、一元二次方程的项
【点评】本题考查一元二次方程的基本概念，核心是掌握“一元二次方程不含某一项时该项系数为0”的性质，解题关键是正确合并同类项，属于基础题型。
【难度系数】0.7

【分析】要解决这个问题，需明确两个核心条件：一是一元二次方程的二次项系数不能为0，二是方程的常数项为0。首先确定方程的常数项，令其等于0求出a的可能值，再排除使二次项系数为0的a值，即可得到正确结果。
【解析】对于一元二次方程$Ax^2 + Bx + C = 0$（$A≠0$），其中$C$为常数项。本题中方程$(a+2)x^2 - 3ax + a^2 - 4 = 0$的常数项为$a^2 - 4$，根据题意常数项为0，因此先列方程：$a^2 - 4 = 0$，解得$a = 2$或$a = -2$。又因为该方程是一元二次方程，二次项系数不能为0，即$a + 2 ≠ 0$，解得$a ≠ -2$。综上，$a$的值为2。
【答案】2
【知识点】一元二次方程的定义；一元二次方程的常数项
【点评】本题考查一元二次方程的基本概念，需同时满足“常数项为0”和“二次项系数不为0”两个条件，易错点是忽略二次项系数不能为0的限制，需仔细审题。
【难度系数】0.5

【分析】
要解决这个问题，核心是利用一元二次方程根的定义，通过整体代入的方法简化计算，无需直接求解根的具体值。首先，根据“方程的根满足方程”，将a代入已知方程得到关于a的关系式，再把所求代数式变形为含该关系式的形式，代入计算即可。
【解析】
解：
∵a是一元二次方程$x^2 + 2x - 4 = 0$的一个根，
∴将$x=a$代入方程得：$a^2 + 2a - 4 = 0$，
移项可得：$a^2 + 2a = 4$，
对所求代数式$2a^2 + 4a - 4$变形：
$2a^2 + 4a - 4 = 2(a^2 + 2a) - 4$，
把$a^2 + 2a = 4$代入上式：
$2×4 - 4 = 8 - 4 = 4$。
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程的根、整体代入求值
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义及代数式的整体代入，解题时通过整体变形简化运算，体现了整体思想的应用，是常见的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7

【分析】解本题需用配方法解一元二次方程，核心思路是：先将常数项移到方程右侧，再给左侧二次式添加一次项系数一半的平方，使其成为完全平方式，最后计算右侧常数项得到配方后的方程。
【解析】对于方程$x^2 -6x +8=0$，第一步移项得：$x^2 -6x = -8$；第二步，一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(-6÷2)^2=9$，在方程两边同时加9，左侧变为$x^2 -6x +9=(x-3)^2$，右侧变为$-8+9=1$，因此配方后得到的方程是$(x-3)^2=1$。
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【点评】本题考查配方法解一元二次方程的基础应用，只需掌握配方时添加一次项系数一半的平方这一关键操作，属于基础题型，难度不大。
【难度系数】0.8

【分析】本题考查一元二次方程的解法，需根据各方程的结构特点选择合适的方法：(1)方程左边是完全平方式，右边为常数，适合用直接开平方法；(2)方程含二次项、一次项，右边为常数，适合用配方法；(3)移项后可提取公因式，适合用因式分解法；(4)方程含二次项、一次项，右边为常数，适合用配方法。解题时需注意步骤规范性，避免计算错误。
【解析】
(1) 对$(x-1)^2=\dfrac{9}{4}$直接开平方，得：
$x-1=\pm\dfrac{3}{2}$
解得：$x_1=1+\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}$，$x_2=1-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{1}{2}$；
(2) 对$x^2+2x=1$配方，两边同时加1，得：
$x^2+2x+1=1+1$，即$(x+1)^2=2$
开平方得：$x+1=\pm\sqrt{2}$
解得：$x_1=-1+\sqrt{2}$，$x_2=-1-\sqrt{2}$；
(3) 对$2(x+5)^2=x(x+5)$移项，得：
$2(x+5)^2 -x(x+5)=0$
提取公因式$(x+5)$，得：
$(x+5)[2(x+5)-x]=0$
化简括号内式子：$2(x+5)-x=x+10$
方程变为$(x+5)(x+10)=0$
解得：$x_1=-5$，$x_2=-10$；
(4) 对$x^2+4x=6$配方，两边同时加4，得：
$x^2+4x+4=6+4$，即$(x+2)^2=10$
开平方得：$x+2=\pm\sqrt{10}$
解得：$x_1=-2+\sqrt{10}$，$x_2=-2-\sqrt{10}$；
【答案】6. (1) $x_1=\dfrac{5}{2},x_2=-\dfrac{1}{2}$ (2) $x_1=-1+\sqrt{2},x_2=-1-\sqrt{2}$ (3) $x_1=-10,x_2=-5$ (4) $x_1=-2+\sqrt{10},x_2=-2-\sqrt{10}$
【知识点】一元二次方程的解法、配方法、因式分解法
【点评】本题是一元二次方程解法的基础练习题，要求学生根据方程特征选择最优解法，解题时需注意移项、配方、因式分解的符号与计算准确性，属于常规题型，需熟练掌握各类解法的适用场景。
【难度系数】0.8

【分析】首先，我们利用十字相乘法对一元二次方程左边的二次三项式因式分解，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再根据“乘积为0的两个因式中至少一个为0”的性质求解方程。对于二次三项式$4x^2-5x+1$，需将二次项系数拆为两个数的乘积，常数项拆为两个数的乘积，使交叉相乘的和等于一次项系数，完成分解后即可解方程。
【解析】
解：对$4x^2 -5x +1$用十字相乘法分解：
将二次项$4x^2$拆为$4x · x$，常数项$1$拆为$(-1) · (-1)$，
交叉相乘相加得：$4x · (-1) + x · (-1) = -5x$，等于一次项系数，
因此原方程化为：$(4x -1)(x -1)=0$，
根据因式分解法解方程的规则，得：
$4x -1=0$ 或 $x -1=0$，
解得：$x=\frac{1}{4}$ 或 $x=1$，
即方程的解为$x_1=\frac{1}{4}, x_2=1$。
【答案】$x_1=\dfrac{1}{4},x_2=1$
【知识点】十字相乘法分解因式、解一元二次方程（因式分解法）
【点评】本题考查十字相乘法分解二次三项式及因式分解法解一元二次方程，属于基础题，核心是掌握十字相乘法“拆两头，凑中间”的方法。
【难度系数】0.6