第26页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

B

C

$-2$

$1$

 (1) 证明：$\because x^2+(2m+1)x+2m=0，$

 $\therefore \Delta=(2m+1)^2 - 4×1×2m=(2m-1)^2≥0，$

 $\therefore$ 无论实数$m$取何值，此方程一定有两个实数根。

 (2) 解：$\because$ 此方程的两个实数根分别为$x_1,x_2，$

 $\therefore x_1+x_2=-2m-1，$$x_1x_2=2m。$

 $\because x_1^2+x_2^2=13，$

 $\therefore (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2=13，$

 即$(-2m-1)^2 - 2×2m=13，$

 整理得$m^2=3，$

 解得$m_1=-\sqrt{3}，$$m_2=\sqrt{3}，$

 $\therefore m$的值为$-\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$

 (1) 证明：$\because \Delta=[-(2m-1)]^2 +4(2m+1)=4m^2-4m+1+8m+4=4m^2+4m+5=4(m+\frac{1}{2})^2 +4＞0，$

 $\therefore$ 方程有两个不相等的实数根。

 (2) 解：0能是方程的一个根。

 当$x=0$时，代入方程得$-(2m+1)=0，$解得$m=-\frac{1}{2}。$

 当$m=-\frac{1}{2}$时，原方程为$x^2+2x=0，$

 解得$x_1=0，$$x_2=-2，$

 $\therefore 0$能是方程的一个根，另一个根为$-2$

B

$48(1-x)^2=27$

$x^2=10(x-3)+x$

【分析】首先，我们利用一元二次方程根的判别式来确定k的取值范围：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当方程有实数根时，判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$。接下来确定题目中方程的$a、b、c$的值，代入判别式公式得到关于$k$的不等式，解不等式后对应选项选出答案。
【解析】因为关于$x$的一元二次方程$2x^2 - 3x + k = 0$有实数根，所以判别式$\Delta ≥ 0$。其中$a=2$，$b=-3$，$c=k$，代入判别式公式得：$\Delta = (-3)^2 - 4×2×k = 9 - 8k$。令$\Delta ≥ 0$，即$9 - 8k ≥ 0$，移项得$-8k ≥ -9$，两边同时除以$-8$（不等号方向改变），解得$k ≤ \frac{9}{8}$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的基础应用，核心是牢记“一元二次方程有实数根等价于判别式$\Delta ≥ 0$”，解不等式时需注意不等号方向的变化，属于对基础知识点的直接考查，难度较低。
【难度系数】0.8

【分析】
本题需利用一元二次方程根的定义和韦达定理求解。首先，根据α是方程的根，将α²用含α的一次式替换实现降次；再结合韦达定理得到两根之和，代入化简后的式子计算结果。
【解析】
因为α是方程$x^2 - 3x - 2017 = 0$的根，所以$α^2 - 3α - 2017 = 0$，即$α^2 = 3α + 2017$。
将$α^2 = 3α + 2017$代入$α^2 - 2β - 5α$得：
$\begin{aligned}&α^2 - 2β - 5α\\=&(3α + 2017) - 2β - 5α\\=&-2α - 2β + 2017\\=&-2(α + β) + 2017\end{aligned}$
又因为$α,β$是方程$x^2 - 3x - 2017 = 0$的两个实数根，由韦达定理得$α + β = 3$，代入上式：
$-2×3 + 2017 = -6 + 2017 = 2011$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的性质；韦达定理
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义与韦达定理的综合应用，核心是通过根的定义降次，再利用韦达定理简化代数式，属于常规基础题，需熟练掌握相关知识点。
【难度系数】
0.6

【分析】本题是已知一元二次方程的一个根求另一个根，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）快速求解。思路：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$，本题中二次项系数$a=1$，常数项$c=-2$，已知一个根为1，设另一个根为$x_0$，则$1×x_0=\frac{c}{a}$，代入计算即可得解。
【解析】设方程的另一个根为$x_0$，对于一元二次方程$x^2+bx-2=0$，其中$a=1$，$c=-2$，根据韦达定理，两根之积为$\frac{c}{a}$，即$1·x_0=\frac{-2}{1}=-2$，解得$x_0=-2$。
【答案】-2
【知识点】一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的根
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题型，利用韦达定理可简化计算，无需额外求解系数，适合巩固一元二次方程的基础知识点。
【难度系数】0.8

【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），解题思路是：先根据一元二次方程的一般式确定系数，利用韦达定理求出两根之和与两根之积，再将其代入所求代数式进行计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），若两根为$x_1,x_2$，则有$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
已知方程为$2x^2 - 3x + 1 = 0$，其中$a=2$，$b=-3$，$c=1$，因此：
$x_1 + x_2 = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2}$，
$x_1x_2 = \frac{1}{2}$。
将上述结果代入代数式$\frac{x_1 + x_2}{1 + x_1x_2}$：
$\frac{x_1 + x_2}{1 + x_1x_2} = \frac{\frac{3}{2}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}} = 1$
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，直接运用韦达定理计算两根之和与积，再代入代数式即可求解，主要考查学生对韦达定理的掌握程度，难度较低。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决这道题，分两步思考：第(1)问需利用一元二次方程根的判别式，计算判别式并证明其非负，即可得方程总有两个实数根；第(2)问需结合韦达定理得到两根和与积，再通过完全平方公式变形已知的两根平方和，代入后解方程求出m的值。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。
本题方程为$x^2+(2m+1)x+2m=0$，其中$a=1$，$b=2m+1$，$c=2m$，
则$\Delta=(2m+1)^2 - 4×1×2m = 4m^2 +4m +1 -8m = (2m-1)^2$，
因为任何实数的平方非负，即$(2m-1)^2≥0$，
所以无论实数$m$取何值，此方程一定有两个实数根。
(2) 根据韦达定理，方程的两根$x_1,x_2$满足：
$x_1+x_2=-(2m+1)= -2m -1$，$x_1x_2=2m$，
由完全平方公式变形得$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，
代入已知$x_1^2+x_2^2=13$得：
$(-2m -1)^2 - 2×2m =13$，
展开化简：$4m^2 +4m +1 -4m =13$，即$4m^2=12$，
解得$m^2=3$，所以$m_1=-\sqrt{3}$，$m_2=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 无论实数$m$取何值，此方程一定有两个实数根；
(2) $m$的值为$-\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，韦达定理，完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考察判别式的应用和韦达定理的变形，解题思路清晰，步骤明确，属于初中阶段必须掌握的常规考点。
【难度系数】
0.6

【分析】
要解决这道题，需分两小问分析：(1) 证明一元二次方程有两个不相等的实数根，核心是利用根的判别式Δ，计算Δ的值并证明其恒大于0；(2) 判断0是否为方程的根，只需将x=0代入方程求出m的值，再将m代回原方程求解，即可得到另一个根。
【解析】
(1) 对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$，根的判别式 $\Delta = b^2-4ac$。在方程 $x^2-(2m-1)x-(2m+1)=0$ 中，$a=1$，$b=-(2m-1)$，$c=-(2m+1)$，则：
$\Delta = [-(2m-1)]^2 - 4×1×[-(2m+1)] = (2m-1)^2 + 4(2m+1)$
展开化简得：$\Delta = 4m^2 -4m +1 +8m +4 = 4m^2 +4m +5$
配方得：$\Delta = 4(m+\frac{1}{2})^2 +4$，因为 $(m+\frac{1}{2})^2 ≥0$，所以 $\Delta ＞0$，故方程有两个不相等的实数根。
(2) 若0是方程的一个根，将 $x=0$ 代入原方程得：$0^2 - (2m-1)×0 - (2m+1)=0$，解得 $m=-\frac{1}{2}$。
将 $m=-\frac{1}{2}$ 代入原方程，得：$x^2 - [2×(-\frac{1}{2}) -1]x - [2×(-\frac{1}{2}) +1] = x^2 +2x =0$，因式分解得 $x(x+2)=0$，解得 $x_1=0$，$x_2=-2$，故0是方程的一个根，另一个根为-2。
【答案】
(1) 证明成立，方程有两个不相等的实数根；(2) 0能是方程的一个根，另一个根为-2。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的解；解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式及方程根的应用，属于基础题型，熟练掌握判别式的计算和方程根的代入求解方法即可解决。
【难度系数】
0.7

【分析】首先明确年平均下降率的计算逻辑：若初始成本为$a$，年平均下降率为$x$，则1年后成本为$a(1-x)$，2年后成本为$a(1-x)^2$。本题中两年前成本为80元，现在（2年后）成本为60元，需根据该关系列方程，再匹配选项选出正确答案。
【解析】根据年平均下降率的公式，2年后甲种药品的成本 = 两年前成本×$(1 - 年平均下降率)^2$，代入数据得：$80(1-x)^2 = 60$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用（增长率问题）
【点评】本题考查一元二次方程在下降率问题中的基础应用，核心是理解“两年”对应下降率的平方，属于易得分的基础题型，需注意区分一次下降、两次下降的表达式差异。
【难度系数】0.8

【分析】
要解决这个问题，需明确每轮传染的患病人数变化规律：初始有2人患病，每轮中平均1人传染x人。第一轮传染时，2个患者每人传染x人，新增2x人，第一轮总患病人数为2(1+x)人；第二轮传染时，传染源是第一轮的总患者数，新增2(1+x)·x人，两轮后总患病人数可整理为2(1+x)²。根据两轮后共98人患病，据此列方程求解x。
【解析】
解：设每轮传染中平均1人传染了x人。
根据题意，两轮后总患病人数为2(1+x)²，可列方程：
2(1+x)² = 98
两边同除以2得：(1+x)² = 49
开平方得：1+x = ±7（人数为正，舍去负解）
故1+x = 7，解得x = 6。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用、传染问题
【点评】
本题是一元二次方程在实际场景中的典型应用（传染问题），核心是理清每一轮传染源的数量，正确推导两轮后的总患病人数，进而列出方程求解，属于常见基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题是关于百分率的一元二次方程应用问题，解题思路是：明确每次降价的基数，第一次降价以原价为基数，第二次降价以第一次降价后的价格为基数，结合两次降价后的最终价格，即可列出方程。
【解析】
设每次降价的百分率为$x$，原价为每盒48元，第一次降价后的价格为$48(1-x)$元；第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，所以第二次降价后的价格为$48(1-x)(1-x)=48(1-x)^2$元。已知两次降价后每盒价格为27元，因此可列方程为$48(1-x)^2=27$。
【答案】
$48(1-x)^2=27$
【知识点】
一元二次方程的应用、百分率问题
【点评】
本题属于基础的实际应用题型，核心是掌握两次降价的基数变化，准确列出方程，是常见的增长率（降价率）类问题的典型考法。
【难度系数】
0.8

【分析】首先明确题目中的数量关系：周瑜去世的年龄是两位数，设个位数字为$x$，则十位数字比个位小3，即十位数字为$x-3$；两位数的表示规则是“十位数字×10 + 个位数字”，因此该年龄可表示为$10(x-3)+x$；再根据“个位平方与寿同”（个位数字的平方等于去世年龄）这一等量关系，即可列出方程。
【解析】设去世时年龄的个位数字为$x$，则十位数字为$x-3$，该两位数年龄为$10(x-3)+x$。根据“个位平方与寿同”，即个位数字的平方等于去世年龄，可列方程：$x^2=10(x-3)+x$。
【答案】$x^2=10(x-3)+x$
【知识点】一元二次方程应用、两位数的表示
【点评】本题结合古代算诗考查数学建模能力，核心是掌握两位数的表示方法，找到等量关系即可解题，属于基础应用题。
【难度系数】0.7