第16页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

C

$-1$

D

 解：

 (1) 由题意，得

 $\Delta = [-(2k-3)]^2 - 4(k^2+1) = 4k^2 -12k +9 -4k^2 -4 = -12k +5 ＞0$

 解得 $k ＜ \frac{5}{12}。$

 (2) 由题意，得 $x_1 + x_2 = 2k -3，$$x_1x_2 = k^2 +1 ＞0。$

由

 (1)，知 $k ＜ \frac{5}{12}，$$\therefore x_1 + x_2 ＜ 2×\frac{5}{12} -3 ＜0。$

 $\therefore x_1 ＜0，$$x_2 ＜0。$

 $\therefore$ 原等式可化为 $-(x_1 + x_2) = 2x_1x_2 -3，$即 $-(2k-3) = 2(k^2+1) -3，$

 整理得 $k^2 +k -2 =0，$

 解得 $k_1=1$（不合题意，舍去），$k_2=-2。$

 $\therefore k$ 的值为 $-2。$

 (1) 证明：

 $\because \Delta = (-\frac{m}{2})^2 -4×\frac{1}{4}×(m-1) = \frac{m^2}{4} -m +1 = (\frac{m}{2} -1)^2 ≥ 0，$

 $\therefore$ 无论$m$取何值，方程总有两个实数根。

 (2) 解：

 $\because □ ABCD$ 是菱形，$\therefore AB=AD，$

 $\therefore$ 方程有两个相等的实数根，

 $\therefore \Delta = (\frac{m}{2} -1)^2 =0，$解得 $m=2。$

 当$m=2$时，原方程为 $\frac{1}{4}x^2 -x +1 =0，$

 解得 $x_1=x_2=2，$

 $\therefore$ 此时菱形的边长为2。

 解：

 (1) 由题意，得 $\Delta = (-6)^2 -4(2m-1) ≥ 0，$解得 $m ≤ 5。$

 由根与系数的关系得 $x_1 + x_2 =6，$$x_1x_2=2m-1。$

 $\because x_1=1，$$\therefore 1+x_2=6，$$x_2=2m-1，$

 $\therefore x_2=5，$$m=3。$

 (2) 存在。

 由题意得 $m ≠ 5，$

 $\because m ≤ 5，$$\therefore m ＜5。$

 $\because (x_1-1)(x_2-1) = \frac{6}{m-5}，$

 $\therefore x_1x_2 -(x_1+x_2) +1 = \frac{6}{m-5}，$

 即 $2m-1 -6 +1 = \frac{6}{m-5}，$

 整理得 $m^2 -8m +12 =0，$

 解得 $m_1=2，$$m_2=6。$

 经检验，$m_1=2，$$m_2=6$是原分式方程的解，

 $\because m ＜5，$$\therefore m=2。$

【分析】首先利用一元二次方程根的定义，将根代入方程得到$a^2$的表达式，再结合韦达定理求出两根之和与两根之积，最后将这些结果代入代数式化简计算即可。
【解析】因为$a$是一元二次方程$x^2+x-8=0$的根，所以将$a$代入方程得：$a^2 + a -8 =0$，即$a^2=8 -a$。
又因为$a,b$是方程$x^2+x-8=0$的两个实数根，根据韦达定理，两根之和$a+b=-1$，两根之积$ab=-8$。
将$a^2=8 -a$代入代数式$a^2+2a+b -ab$得：
原式$=(8 -a) +2a +b -ab =8 +a +b -ab$
把$a+b=-1$，$ab=-8$代入上式：
$8 + (-1) - (-8) =8 -1 +8=15$
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的定义、韦达定理（根与系数的关系）
【点评】本题综合考查一元二次方程根的定义和韦达定理的应用，核心是利用根的定义对代数式降次，再结合韦达定理整体代入计算，简化运算步骤，属于基础题型。
【难度系数】0.6

【分析】
题目中a、b分别满足同一一元二次方程且a≠b，因此可将a、b看作该方程的两个不相等实数根，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出a+b与ab的值，再代入代数式计算即可。
【解析】
因为$a^2 -5a +3=0$，$b^2 -5b +3=0$，且$a≠b$，所以a、b是一元二次方程$x^2 -5x +3=0$的两个不同实数根。
根据韦达定理，对于一元二次方程$Ax^2 +Bx +C=0$（A≠0），两根之和$x_1+x_2=-\frac{B}{A}$，两根之积$x_1x_2=\frac{C}{A}$，则：
$a+b = -\frac{-5}{1}=5$，$ab=\frac{3}{1}=3$。
将$a+b=5$，$ab=3$代入$a+b -2ab$得：
$5 - 2×3 =5 -6=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式求值
【点评】
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，核心是将a、b视为方程的两根，简化运算，避免直接求解方程根的繁琐过程，属于基础题型。
【难度系数】
0.6

【分析】
要解决本题，需分步骤利用一元二次方程的相关性质：首先，因为α、β是方程的两个不相等实数根，需先通过判别式确定m的取值范围，保证方程有两个不等实根；其次，根据韦达定理（根与系数关系）得到α+β和αβ的表达式；再将α²+β²转化为含α+β、αβ的形式，代入已知条件求解m；最后结合判别式的结果舍去不符合的解，得到最终答案。
【解析】
解：
∵α、β是一元二次方程$x^2 + mx + m = 0$的两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta = m^2 - 4 × 1 × m ＞ 0$，即$m^2 - 4m ＞ 0$，因式分解得$m(m - 4) ＞ 0$，
解得$m ＜ 0$或$m ＞ 4$。
根据韦达定理，两根之和$α + β = -m$，两根之积$αβ = m$。
已知$α^2 + β^2 = 3$，由完全平方公式变形得：
$α^2 + β^2 = (α + β)^2 - 2αβ = 3$，
代入$α + β = -m$、$αβ = m$，得：
$(-m)^2 - 2m = 3$，整理为一元二次方程：$m^2 - 2m - 3 = 0$，
因式分解得$(m - 3)(m + 1) = 0$，解得$m = 3$或$m = -1$。
结合之前判别式的结果$m ＜ 0$或$m ＞ 4$，$m = 3$不符合，舍去，仅$m = -1$符合条件。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理；完全平方公式
【点评】
本题综合考查一元二次方程的根的性质，核心是利用判别式保证根的存在性，结合韦达定理转化代数式求解参数，需注意求出参数后必须验证判别式，避免因忽略根的存在性导致错解，是一元二次方程章节的典型易错题。
【难度系数】
0.4

【分析】
要解决这道题，分两步思考：
1. 第(1)问中，一元二次方程有两个不相等的实数根，需利用根的判别式Δ＞0，代入方程系数计算Δ，解不等式得到k的取值范围；
2. 第(2)问中，先通过韦达定理求出两根之和与两根之积，由两根之积恒正判断两根同号，再结合第(1)问的k范围确定两根均为负数，进而将绝对值的和转化为两根和的相反数，代入题目等式得到关于k的方程，解方程后结合k的取值范围舍去不符合的解，得到最终k的值。
【解析】
(1) 因为方程是一元二次方程且有两个不相等的实数根，所以判别式Δ＞0。
Δ = [-(2k-3)]² - 4×1×(k²+1) = 4k² -12k +9 -4k² -4 = -12k +5
令Δ＞0，即 -12k +5＞0，解得k ＜ 5/12。
(2) 由韦达定理得：x₁+x₂=2k-3，x₁x₂=k²+1。
因为k²+1＞0，所以x₁与x₂同号。
结合(1)中k ＜5/12，得x₁+x₂=2k-3 ＜ 2×(5/12) -3 = -13/6 ＜0，故x₁＜0，x₂＜0。
因此|x₁|+|x₂|= -x₁ -x₂ = -(x₁+x₂)。
根据题意：|x₁|+|x₂|=2|x₁x₂|-3，代入得：
-(2k-3) = 2(k²+1) -3
整理得：k² +k -2=0，解得k₁=1，k₂=-2。
结合(1)中k ＜5/12，k=1不符合，舍去，故k=-2。
【答案】
(1) k ＜ 5/12；(2) k=-2
【知识点】
一元二次方程根的判别式，韦达定理
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的应用，核心是根据根的符号转化绝对值表达式，需注意结合第(1)问的k范围对解进行取舍，避免出错。
【难度系数】
0.5

【分析】
1. 第(1)问需利用一元二次方程根的判别式判断根的情况：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta≥0$则方程总有两个实数根，因此需计算本题方程的判别式并化简，判断其取值范围。
2. 第(2)问结合菱形性质：菱形的邻边相等，即方程的两个根$AB=AD$，说明方程有两个相等的实数根，此时$\Delta=0$，据此求出$m$的值，再代入原方程求解根，根即为菱形的边长。
【解析】
(1) 对于方程$\dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{m}{2}x + m - 1 = 0$，其判别式：
$\Delta = (-\dfrac{m}{2})^2 - 4 × \dfrac{1}{4} × (m - 1) = \dfrac{m^2}{4} - m + 1 = (\dfrac{m}{2} - 1)^2$，
因为$(\dfrac{m}{2} - 1)^2 ≥ 0$，所以无论$m$取何值，$\Delta≥0$，方程总有两个实数根。
(2) 因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AB=AD$，即方程有两个相等的实数根，故$\Delta=0$：
$(\dfrac{m}{2} - 1)^2 = 0$，解得$m=2$。
将$m=2$代入原方程得：$\dfrac{1}{4}x^2 - x + 1 = 0$，整理为$x^2 - 4x + 4 = 0$，解得$x_1=x_2=2$，即菱形的边长为2。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $m=2$，菱形的边长为2。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，菱形的性质，一元二次方程的解法
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的判别式与菱形性质，核心是利用“菱形邻边相等”转化为方程有两个相等实根，进而用判别式求解，属于常规基础题，需掌握判别式计算及菱形性质的应用。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题围绕一元二次方程的根展开，需先利用根的判别式确定参数范围，再结合韦达定理（根与系数的关系）解题。第(1)问已知一个根，可通过韦达定理的两根和直接求另一根，再用两根积求参数；第(2)问需将所求式子展开，代入韦达定理结果得到关于参数的方程，同时要注意方程有实根的判别式条件和分式分母不为0，解后需检验并筛选符合条件的解。
【解析】
(1) 对于一元二次方程 $x^2 -6x +2m -1=0$，有两个实数根，故判别式 $\Delta = (-6)^2 -4(2m -1) ≥ 0$，解得 $m ≤5$。
由韦达定理得：$x_1 +x_2 =6$，$x_1x_2=2m -1$。
已知 $x_1=1$，则 $1 +x_2=6$，得 $x_2=5$；
又 $x_1x_2=2m -1$，即 $1×5=2m -1$，解得 $m=3$。
(2) 存在实数$m$满足条件，理由如下：
分式 $\frac{6}{m-5}$ 有意义，故 $m≠5$；结合(1)中 $m ≤5$，得 $m ＜5$。
将 $(x_1 -1)(x_2 -1)$ 展开得：$x_1x_2 - (x_1 +x_2) +1$，代入韦达定理结果得：
$2m -1 -6 +1 = \frac{6}{m -5}$，整理得 $2m -6 = \frac{6}{m -5}$，两边同乘 $m -5$（$m≠5$）得：
$(2m -6)(m -5) =6$，展开整理得 $m^2 -8m +12=0$，因式分解得 $(m -2)(m -6)=0$，解得 $m_1=2$，$m_2=6$。
经检验，$m_1=2$、$m_2=6$ 是原分式方程的解。
结合 $m ＜5$，故 $m=2$。
【答案】
(1) $x_2=5$，$m=3$；(2) 存在，$m=2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理；分式方程的解
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的性质、韦达定理及分式方程解法，解题关键是利用判别式和分式分母不为0确定参数范围，避免多解或错解，需注意步骤的严谨性。
【难度系数】
0.6