第17页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

黄金分割

黄金分割点

6.18

 解：

 ∵C，D是AB的两个黄金分割点，$AB=12\ \mathrm{cm}，$$AC＜CB，$$AD＞DB，$

 ∴$CB=AD=AB×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=12×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=(6\sqrt{5}-6)\ \mathrm{cm}$

 ∴$AC=AB-CB=12-(6\sqrt{5}-6)=(18-6\sqrt{5})\ \mathrm{cm}$

 ∴$CD=AD-AC=6\sqrt{5}-6-(18-6\sqrt{5})=(12\sqrt{5}-24)\ \mathrm{cm}$

B

A

$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

$x^2 - x - 1 = 0$（答案不唯一）

$-1$

 解：

 ∵黄金分割数$m=\frac{\sqrt{5}-1}{2}，$

 ∴$m^2 + m = m(m+1)=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×\frac{\sqrt{5}+1}{2}=1$

 ∴$2m^2 + 2m -1 = 2(m^2 + m) -1 = 2×1 -1 = 1$

【分析】
本题考查黄金分割的基本定义，解题时需根据题目给出的线段比例关系，回忆对应的数学概念，即可得出答案。
【解析】
根据黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使其中较长线段与全线段的比等于较短线段与较长线段的比，这样的分割叫做黄金分割，该分割点叫做这条线段的黄金分割点，与题目描述完全匹配，因此可得出结果。
【答案】
黄金分割；黄金分割点
【知识点】
黄金分割的定义
【点评】
本题为基础概念识记题，只要牢记黄金分割的定义就能轻松解答，难度较低。
【难度系数】
0.8

【分析】首先明确黄金分割点的定义：若点C把线段AB分成AC和CB两段（AC＞CB），满足较长线段AC与原线段AB的比值等于黄金比，黄金比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$。本题中C是AB的黄金分割点且AC＞CB，因此AC为AB的较长部分，需用AB的长度乘以黄金比计算AC的长度。
【解析】根据黄金分割的定义，当C是AB的黄金分割点（AC＞CB）时，$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$。已知AB=10cm，代入得：$AC=AB×\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx10×0.618=6.18$（cm）。
【答案】6.18
【知识点】黄金分割
【点评】本题考查黄金分割的基础应用，核心是掌握黄金比的数值及黄金分割点对应较长线段的计算方法，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7

【分析】
要解决本题，需先明确黄金分割点的定义：若点将线段分为两部分，较长部分与整条线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则该点为线段的黄金分割点。题目中C、D是AB的两个黄金分割点，且$AC＜CB$、$AD＞DB$，因此$CB$和$AD$是AB被黄金分割后的较长线段，长度相等。接下来先计算较长线段的长度，再通过线段的和差关系求出$AC$，最后用$AD$减去$AC$得到$CD$的长度。
【解析】
已知$AB=12\ \mathrm{cm}$，C、D是AB的黄金分割点，且$AC＜CB$，$AD＞DB$，根据黄金分割的定义，较长线段的长度为：
$CB = AD = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 12 × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = (6\sqrt{5} - 6)\ \mathrm{cm}$。
计算$AC$的长度：
$AC = AB - CB = 12 - (6\sqrt{5} - 6) = (18 - 6\sqrt{5})\ \mathrm{cm}$。
最后计算$CD$的长度，由线段关系得$CD = AD - AC$，代入数值：
$CD = (6\sqrt{5} - 6) - (18 - 6\sqrt{5}) = 12\sqrt{5} - 24\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$CD$的长度为$(12\sqrt{5} -24)\ \mathrm{cm}$
【知识点】
黄金分割、线段的和差计算
【点评】
本题考查黄金分割的概念及线段长度的计算，核心是掌握黄金分割比的公式，再结合线段和差关系推导，属于基础题型，需准确区分黄金分割点对应的较长线段。
【难度系数】
0.5

【分析】
要确定黄金分割数的准确值，需先明确黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比等于较短部分与较长部分的比，这个比值即为黄金分割数。需区分黄金分割数的准确表达式与近似值，避免概念混淆。
【解析】
根据黄金分割的定义，设线段全长为1，黄金分割数为x（即较长部分的长度），则较短部分长度为1-x，可列等式：$\frac{x}{1} = \frac{1-x}{x}$，整理得一元二次方程$x^2 + x - 1 = 0$。解此方程，取正根（长度为正），得$x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$，这是黄金分割数的准确值。选项A的0.618是该准确值的近似值，选项C的$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$是黄金分割数的倒数（约1.618），选项D的1.618是该倒数的近似值，因此正确答案为B。
【答案】
B
【知识点】
黄金分割数，准确值
【点评】
本题考查黄金分割数的准确值，核心是区分黄金分割数的准确表达式与近似值，属于基础概念识记类题目，需准确记忆相关定义。
【难度系数】
0.4

【分析】
要解决本题，需先通过一元二次方程求根公式计算方程的两个根，再结合黄金分割数的定义对比判断。具体步骤：1. 确定一元二次方程的系数，代入求根公式求出两个根；2. 明确黄金分割数的数值；3. 比较根与黄金分割数的大小关系，选出正确选项。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，求根公式为$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
在方程$x^2+x-1=0$中，$a=1$，$b=1$，$c=-1$，代入求根公式得：
$x=\frac{-1±\sqrt{1^2-4×1×(-1)}}{2×1}=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$。
因为$x_1＞x_2$，所以$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$。
黄金分割数$w=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，显然$w=x_1$，因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程求根公式；黄金分割数
【点评】
本题结合一元二次方程根的计算与黄金分割数的定义，考查基础知识点的应用，难度适中，需准确计算方程的根并牢记黄金分割数的数值。
【难度系数】
0.6

【分析】首先明确黄金分割数的定义，先计算黄金分割数的倒数，需通过分母有理化化简；再设该倒数为$x$，利用代数变形推导满足$x$的一元二次方程，核心是利用黄金分割数的性质进行转化。
【解析】1. 黄金分割数为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，其倒数为$\frac{1}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}$，对分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{5}+1$，得$\frac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5})^2 -1^2}=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{4}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，故第一空答案为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
2. 设这个倒数为$x$，则$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，变形得$2x=\sqrt{5}+1$，移项得$2x -1=\sqrt{5}$，两边平方得$(2x -1)^2=5$，展开整理得$4x^2 -4x -4=0$，两边除以4得$x^2 -x -1=0$，故满足的一元二次方程可以是$x^2 -x -1=0$（答案不唯一）。
【答案】$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$；$x^2 -x -1=0$
【知识点】黄金分割数、分母有理化、一元二次方程的构造
【点评】本题考查黄金分割数的计算及一元二次方程的构造，关键是掌握黄金分割数的定义和分母有理化的方法，通过代数变形推导方程，属于基础题型。
【难度系数】0.5

【分析】
要解决这个问题，首先需明确黄金分割数$ m $的核心性质：黄金分割数$ m $满足$ m^2 + m = 1 $。解题时先将待求代数式变形为含$ m^2 + m $的形式，再代入性质快速求值，无需直接计算无理数的平方，简化运算过程。
【解析】
解：根据黄金分割数的定义，若黄金分割数为$ m $，则满足$ \frac{m}{1} = \frac{1 - m}{m} $，交叉相乘得$ m^2 = 1 - m $，移项可得$ m^2 + m = 1 $。
对待求代数式变形：$-m^2 - m = -(m^2 + m)$，将$ m^2 + m = 1 $代入得：原式$ = -1 $。
【答案】
$-1$
【知识点】
黄金分割的性质，代数式求值
【点评】
本题利用黄金分割数的核心性质简化运算，避免了直接计算无理数的复杂过程，考查学生对黄金分割性质的理解与代数式变形能力，属于基础题型。
【难度系数】
0.5

【分析】
要计算代数式$2m^2 + 2m -1$的值，直接代入$m=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$计算会很繁琐，因此可先从$m$的表达式推导出$m^2 + m$的值，再通过整体代入法简化代数式求值。具体思路：先计算$m(m+1)$得到$m^2 + m$，利用平方差公式求出该式的值，再将代数式变形为含$m^2 + m$的形式，代入计算即可。
【解析】
已知$m=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则：
$m + 1 = \frac{\sqrt{5}-1}{2} + 1 = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$
计算$m^2 + m = m(m+1)$：
$\begin{aligned}m(m+1)&=\frac{\sqrt{5}-1}{2} × \frac{\sqrt{5}+1}{2}\\&=\frac{(\sqrt{5})^2 - 1^2}{4}\\&=\frac{5 -1}{4}\\&=1\end{aligned}$
对代数式$2m^2 + 2m -1$变形：
$2m^2 + 2m -1 = 2(m^2 + m) -1$
将$m^2 + m =1$代入上式：
$2×1 -1 =1$
【答案】
1
【知识点】
整体代入法、二次根式的运算
【点评】
本题考查代数式的求值，核心是运用整体代入思想简化计算，避免复杂的根式展开运算，同时结合黄金分割数的性质进行推导，体现了数学运算的简洁性要求。
【难度系数】
0.6