第15页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

B

$-6$

 由一元二次方程的根与系数的关系，得$x_1+x_2=4，$$x_1x_2=1。$

 $x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1+x_2) = 1×4 = 4$

 由一元二次方程的根与系数的关系，得$x_1+x_2=4，$$x_1x_2=1。$

 $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 4^2 - 2×1 = 14$

 由一元二次方程的根与系数的关系，得$x_1+x_2=4，$$x_1x_2=1。$

 $(x_1+x_2)^2 ÷ (\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}) = (x_1+x_2)^2 · \frac{x_1x_2}{x_1+x_2} = (x_1+x_2)x_1x_2 = 4×1 = 4$

D

$11$

 (1) 证明：

 $\because \Delta = [-(2m-1)]^2 - 4×1×(-3m^2 + m) = 4m^2 -4m +1 +12m^2 -4m = 16m^2 -8m +1 = (4m-1)^2 ≥ 0$

 $\therefore$ 无论$m$为何值，方程总有实数根。

 (2) 解：由题意知，$x_1+x_2=2m-1，$$x_1x_2=-3m^2 + m。$

 $\because \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \frac{(x_1+x_2)^2}{x_1x_2} - 2 = -\frac{5}{2}$

 $\therefore \frac{(2m-1)^2}{-3m^2 + m} - 2 = -\frac{5}{2}$

 整理，得$5m^2 -7m +2 =0，$

 解得$m=1$或$m=\frac{2}{5}。$

【分析】
本题可通过代入法或韦达定理求解：已知方程的一个根，可先代入求出参数，再解方程得到另一个根；也可直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）计算另一个根，两种方法均可快速得出结果。
【解析】
方法一：代入法
因为$x=-1$是方程$x^2+x+m=0$的根，将$x=-1$代入方程得：
$(-1)^2 + (-1) + m = 0$，即$1 -1 + m =0$，解得$m=0$。
此时原方程为$x^2 + x =0$，因式分解得$x(x+1)=0$，解得方程的根为$x_1=0$，$x_2=-1$，所以另一个根是$0$。
方法二：韦达定理
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和为$-\frac{b}{a}$。
本题方程$x^2+x+m=0$中，$a=1$，$b=1$，设另一个根为$x_0$，则两根之和为$-\frac{1}{1}=-1$，即$-1 + x_0 = -1$，解得$x_0=0$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的根，韦达定理
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，考查方程根的定义及根与系数的关系，两种解法均简便易懂，适合基础阶段学生练习。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路是：先根据韦达定理得出方程两根之和与两根之积的表达式，再代入题目给出的等式，求解关于$m$的一元一次方程即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），若$x_1,x_2$是其两根，则韦达定理为：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
已知方程$x^2 + mx + 4 = 0$中，$a=1$，$b=m$，$c=4$，因此：
$x_1 + x_2 = -m$，$x_1x_2 = 4$。
将上述结果代入已知条件$x_1 + x_2 - x_1x_2 = 2$，得：
$-m - 4 = 2$，
移项得：$-m = 2 + 4 = 6$，
解得：$m = -6$。
【答案】
-6
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元一次方程的解法
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题，直接利用韦达定理转化已知条件求解参数，步骤清晰，计算简单，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路为：①先根据韦达定理求出方程两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$；②将所求的三个代数式分别通过因式分解、完全平方公式、分式化简等方式，转化为仅含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；③代入已求得的和与积的数值，计算出结果。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - 4x + 1 = 0$，由韦达定理得：
$x_1 + x_2 = 4$，$x_1x_2 = 1$。
(1) 对$x_1^2x_2 + x_1x_2^2$提取公因式：
$x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2) = 1×4 = 4$；
(2) 对$x_1^2 + x_2^2$利用完全平方公式变形：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 4^2 - 2×1 = 16 - 2 = 14$；
(3) 先化简分式部分，再代入计算：
$(x_1 + x_2)^2 ÷ (\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}) = (x_1 + x_2)^2 ÷ (\frac{x_2 + x_1}{x_1x_2}) = (x_1 + x_2)^2 × \frac{x_1x_2}{x_1 + x_2} = (x_1 + x_2)x_1x_2 = 4×1 = 4$。
【答案】
(1)4；(2)14；(3)4
【知识点】
一元二次方程根与系数关系、代数式变形
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，核心是将所求代数式转化为两根和与积的形式，无需直接求解方程的根，简化计算过程，是初中代数的重点内容，需熟练掌握代数式的变形技巧。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决这道题，需按步骤逐一判断选项：首先确定方程类型，再用根的判别式判断方程是否有实根，最后结合韦达定理的使用前提分析A、B选项。步骤如下：1. 根据一元二次方程定义判断选项C；2. 计算判别式判断方程是否有实根，对应选项D；3. 明确韦达定理的适用条件（方程有实根），分析A、B选项的错误原因。
【解析】
解：对于方程$x^2+x+3=0$：
1. 选项C：该方程符合一元二次方程的定义（$a=1≠0$），属于一元二次方程，故C错误；
2. 计算根的判别式：$\Delta = b^2-4ac = 1^2 - 4×1×3 = -11 ＜ 0$，因此该方程无实数根，故D正确；
3. 选项A、B：韦达定理（根与系数的关系）仅适用于一元二次方程有实数根的情况，此方程无实数根，不存在两根，因此无法计算两根之和与两根之积，故A、B错误。
综上，正确答案为D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式、根与系数的关系
【点评】
本题为易错题，核心考查一元二次方程的基本性质，易错点是忽略韦达定理的使用前提（方程有实数根），直接套用公式判断A、B选项，需牢记韦达定理的适用条件，避免出错。
【难度系数】
0.5

【分析】首先利用一元二次方程根的定义，将根α代入方程得到α²与α的关系，再结合韦达定理求出两根之和α+β，最后通过代数式变形，将高次项降次后代入计算即可。
【解析】因为α是一元二次方程$x^2 - x -9=0$的根，所以将α代入方程得：$α^2 - α -9=0$，即$α^2 = α +9$。根据韦达定理，对于方程$x^2 -x -9=0$，两根之和$α + β = 1$。将$α^2 = α +9$代入代数式$α^2 -2α -β +3$得：
原式$= (α +9) -2α -β +3 = -α -β +12 = -(α +β) +12$，
把$α +β=1$代入上式得：$-1 +12=11$。
【答案】11
【知识点】一元二次方程根的定义；韦达定理
【点评】本题考查一元二次方程根的性质与韦达定理的应用，核心是通过根的定义对高次代数式降次，再利用整体代入思想简化计算，属于基础题型。
【难度系数】0.6

【分析】
第(1)问要证明一元二次方程总有实数根，需计算判别式Δ，证明Δ≥0即可；第(2)问需利用韦达定理，将两根的分式和变形为用两根和与两根积表示的形式，代入后得到关于m的方程，解方程求出m的值。
【解析】
(1) 对于一元二次方程 $x^2-(2m-1)x-3m^2+m=0$，其中 $a=1$，$b=-(2m-1)$，$c=-3m^2+m$，计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=b^2-4ac\\&=[-(2m-1)]^2 -4×1×(-3m^2+m)\\&=4m^2-4m+1+12m^2-4m\\&=16m^2-8m+1\\&=(4m-1)^2\end{aligned}$
因为 $(4m-1)^2≥0$，所以无论m为何值，方程总有实数根。
(2) 由韦达定理得，方程的两根 $x_1,x_2$ 满足：
$x_1+x_2=2m-1$，$x_1x_2=-3m^2+m$。
对 $\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$ 变形：
$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2}{x_1x_2}-2$
代入已知 $\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=-\frac{5}{2}$，得：
$\frac{(2m-1)^2}{-3m^2+m}-2=-\frac{5}{2}$
整理方程：
$\frac{4m^2-4m+1}{-3m^2+m}=\frac{-5}{2}+2=-\frac{1}{2}$
交叉相乘得：
$2(4m^2-4m+1)=3m^2 -m$
展开化简：
$8m^2-8m+2=3m^2 -m\\5m^2-7m+2=0$
因式分解得 $(5m-2)(m-1)=0$，解得 $m=1$ 或 $m=\frac{2}{5}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $m=1$ 或 $m=\frac{2}{5}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的基础应用，题型常规，需掌握判别式计算及代数式变形技巧，属于基础题。
【难度系数】
0.6