第14页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

 解：

 移项得$(2x+5)^2 - 9(x-3)^2 = 0，$

 由平方差公式因式分解得$[(2x+5)+3(x-3)][(2x+5)-3(x-3)]=0，$

 化简得$(5x-4)(-x+14)=0，$

 则$5x-4=0$或$-x+14=0，$

 解得$x_1=14，$$x_2=\frac{4}{5}。$

 解：

 配方，两边同时加9得$x^2 -6x +9 = 432 +9，$

 即$(x-3)^2 = 441，$

 开平方得$x-3 = \pm21，$

 则$x-3=21$或$x-3=-21，$

 解得$x_1=24，$$x_2=-18。$

 解：

 方程为$3x^2+3x-1=0，$其中$a=3，$$b=3，$$c=-1，$

 判别式$\Delta = b^2 -4ac = 3^2 -4×3×(-1) = 21＞0，$

 由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}，$得

 $x=\frac{-3\pm\sqrt{21}}{6}，$

 即$x_1=\frac{-3+\sqrt{21}}{6}，$$x_2=\frac{-3-\sqrt{21}}{6}。$

 解：

 先整理为一般形式：$2x^2 -4x -3=0，$其中$a=2，$$b=-4，$$c=-3，$

 判别式$\Delta = b^2 -4ac = (-4)^2 -4×2×(-3) = 40＞0，$

 由求根公式得$x=\frac{4\pm\sqrt{40}}{2×2}=\frac{2\pm\sqrt{10}}{2}，$

 即$x_1=\frac{2+\sqrt{10}}{2}，$$x_2=\frac{2-\sqrt{10}}{2}。$

 解：

 移项得$(x-1)^2 -3(x-1)=0，$

 因式分解得$(x-1)(x-1-3)=0，$

 即$(x-1)(x-4)=0，$

 则$x-1=0$或$x-4=0，$

 解得$x_1=1，$$x_2=4。$

 解：

 用十字相乘法因式分解得$(2x-5)(x+3)=0，$

 则$2x-5=0$或$x+3=0，$

 解得$x_1=-3，$$x_2=\frac{5}{2}。$

 解：

 两边同乘2得$(3y-1)^2=16，$

 开平方得$3y-1=\pm4，$

 当$3y-1=4$时，解得$y=\frac{5}{3}；$

 当$3y-1=-4$时，解得$y=-1，$

 即$y_1=\frac{5}{3}，$$y_2=-1。$

 解：

 移项得$(x-1)(x+2)-2(x+2)=0，$

 因式分解得$(x+2)(x-1-2)=0，$

 即$(x+2)(x-3)=0，$

 则$x+2=0$或$x-3=0，$

 解得$x_1=-2，$$x_2=3。$

 解：

 整理为一般形式：$2y^2 -2y -3=0，$其中$a=2，$$b=-2，$$c=-3，$

 判别式$\Delta = (-2)^2 -4×2×(-3)=28＞0，$

 由求根公式得$y=\frac{2\pm\sqrt{28}}{2×2}=\frac{1\pm\sqrt{7}}{2}，$

 解得$y_1=\frac{1+\sqrt{7}}{2}，$$y_2=\frac{1-\sqrt{7}}{2}。$

 解：

 配方，两边同时加2得$x^2+2\sqrt{2}x +2 =6+2，$

 即$(x+\sqrt{2})^2=8，$

 开平方得$x+\sqrt{2}=\pm2\sqrt{2}，$

 则$x+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$或$x+\sqrt{2}=-2\sqrt{2}，$

 解得$x_1=\sqrt{2}，$$x_2=-3\sqrt{2}。$

【分析】
对于方程(1)，其形式为两个完全平方相等，可利用“若$a^2=b^2$，则$a=\pm b$”的性质转化为两个一元一次方程求解；对于方程(2)，是二次项系数为1的一元二次方程，常数项在右侧，适合用配方法，通过配方将其转化为完全平方形式后开方求解，计算时需注意移项和符号的准确性。
【解析】
(1) 对等式两边直接开平方，得：
$2x + 5 = \pm3(x - 3)$
分两种情况讨论：
① 当$2x + 5 = 3(x - 3)$时，
展开得：$2x + 5 = 3x - 9$
移项合并同类项：$x = 14$
② 当$2x + 5 = -3(x - 3)$时，
展开得：$2x + 5 = -3x + 9$
移项合并同类项：$5x = 4$
解得：$x = \frac{4}{5}$
因此方程(1)的解为$x_1=14$，$x_2=\frac{4}{5}$。
(2) 用配方法求解：
给方程两边同时加上一次项系数一半的平方（即$(\frac{-6}{2})^2=9$），得：
$x^2 - 6x + 9 = 432 + 9$
整理为完全平方形式：
$(x - 3)^2 = 441$
两边开平方，得：
$x - 3 = \pm21$
分两种情况：
① 当$x - 3 = 21$时，解得$x = 24$
② 当$x - 3 = -21$时，解得$x = -18$
因此方程(2)的解为$x_1=24$，$x_2=-18$。
【答案】
(1) $x_1=14$，$x_2=\frac{4}{5}$；(2) $x_1=24$，$x_2=-18$
【知识点】
一元二次方程解法、直接开平方法、配方法
【点评】
本题考查一元二次方程的两种基础解法，直接开平方法适用于平方形式的方程，配方法适用于二次项系数为1的方程，需熟练掌握不同解法的操作步骤，计算时注意符号和移项的正确性，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

【分析】
用公式法解一元二次方程需遵循固定步骤：①将方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）；②确定$a$、$b$、$c$的值；③计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断根的存在性；④代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算根。本题第(1)题已是一般形式，直接代入；第(2)题需先展开整理为一般形式，再按步骤计算。
【解析】
(1) 方程$3x^2+3x-1=0$为一元二次方程一般形式，其中$a=3$，$b=3$，$c=-1$。
计算判别式：$\Delta=3^2 - 4×3×(-1)=9+12=21＞0$，方程有两个不等实根。
代入求根公式：$x=\frac{-3\pm\sqrt{21}}{2×3}=\frac{-3\pm\sqrt{21}}{6}$，即$x_1=\frac{-3+\sqrt{21}}{6}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{21}}{6}$。
(2) 先整理方程为一般形式：$2x(x-2)-3=0$展开得$2x^2-4x-3=0$，其中$a=2$，$b=-4$，$c=-3$。
计算判别式：$\Delta=(-4)^2 -4×2×(-3)=16+24=40＞0$，方程有两个不等实根。
代入求根公式：$x=\frac{4\pm\sqrt{40}}{2×2}=\frac{4\pm2\sqrt{10}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{10}}{2}$，即$x_1=\frac{2+\sqrt{10}}{2}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=\dfrac{-3+\sqrt{21}}{6},x_2=\dfrac{-3-\sqrt{21}}{6}$；(2) $x_1=\dfrac{2+\sqrt{10}}{2},x_2=\dfrac{2-\sqrt{10}}{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程、一元二次方程一般形式、判别式应用
【点评】
本题考查公式法解一元二次方程，核心是掌握一般形式转化、判别式计算及求根公式的正确应用，需注意符号处理和根式化简，步骤清晰即可正确求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.3

【分析】解一元二次方程时，优先选用简便方法（如因式分解法）简化计算。第(1)题通过移项提取公因式，将方程转化为两个一次式乘积为0的形式；第(2)题用十字相乘法分解二次式，转化为一次式乘积后求解。
【解析】(1) 移项得：$(x-1)^2 - 3(x-1) = 0$，提取公因式$(x-1)$得：$(x-1)(x-1 - 3) = 0$，即$(x-1)(x-4) = 0$，则$x-1=0$或$x-4=0$，解得$x_1=1$，$x_2=4$。
(2) 对$2x^2 + x -15$用十字相乘法分解得：$(2x -5)(x +3) =0$，则$2x -5=0$或$x +3=0$，解得$x_1=\frac{5}{2}$，$x_2=-3$。
【答案】(1) $x_1=1,x_2=4$；(2) $x_1=-3,x_2=\dfrac{5}{2}$
【知识点】一元二次方程的解法、因式分解法解一元二次方程、十字相乘法
【点评】本题考查一元二次方程的基础解法，涉及提公因式法和十字相乘法，是初中数学核心基础内容，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.7

【分析】
本题考查一元二次方程的解法，需根据每个方程的结构特点选择合适的方法求解：第(1)题含平方形式，适合直接开平方法；第(2)题有公因式，适合因式分解法；第(3)题整理为标准式后适合公式法；第(4)题二次项系数为1，适合配方法。解题时先将方程化为对应形式，再按方法逐步计算，注意符号和计算准确性。
【解析】
(1) 对$\dfrac{1}{2}(3y-1)^2=8$，两边同乘2得：$(3y-1)^2=16$，直接开平方得$3y-1=\pm4$，
当$3y-1=4$时，$3y=5$，解得$y_1=\dfrac{5}{3}$；
当$3y-1=-4$时，$3y=-3$，解得$y_2=-1$。
(2) 对$(x-1)(x+2)=2(x+2)$，移项得$(x-1)(x+2)-2(x+2)=0$，提取公因式$(x+2)$得$(x+2)(x-3)=0$，
则$x+2=0$或$x-3=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=3$。
(3) 对$2y^2-3=2y$，整理为标准形式$2y^2-2y-3=0$，其中$a=2$，$b=-2$，$c=-3$，
判别式$\Delta=(-2)^2-4×2×(-3)=28$，代入求根公式得$y=\dfrac{2\pm\sqrt{28}}{4}=\dfrac{1\pm\sqrt{7}}{2}$，
故$y_1=\dfrac{1+\sqrt{7}}{2}$，$y_2=\dfrac{1-\sqrt{7}}{2}$。
(4) 对$x^2+2\sqrt{2}x-6=0$，用配方法：移项得$x^2+2\sqrt{2}x=6$，配方得$(x+\sqrt{2})^2=8$，
开平方得$x+\sqrt{2}=\pm2\sqrt{2}$，解得$x=-\sqrt{2}\pm2\sqrt{2}$，
故$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-3\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $y_1=\dfrac{5}{3},y_2=-1$；(2) $x_1=-2,x_2=3$；(3) $y_1=\dfrac{1+\sqrt{7}}{2},y_2=\dfrac{1-\sqrt{7}}{2}$；(4) $x_1=\sqrt{2},x_2=-3\sqrt{2}$
【知识点】
一元二次方程的解法、直接开平方法、因式分解法
【点评】
本题涵盖一元二次方程的四种基础解法，是初中代数核心内容，解题关键是根据方程特征选最优方法，计算时需注意符号与公式应用，整体难度适中，适合巩固基础。
【难度系数】
0.7