第8页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

C

B

10

64

8

49

7

$\frac{49}{4}$

$\frac{7}{2}$

$\frac{9}{64}$

$\frac{3}{8}$

 解：移项，得$x^2-6x=-5，$

 配方，得$x^2-6x+9=-5+9，$

 即$(x-3)^2=4，$

 开平方，得$x-3=\pm2，$

 解得$x_1=1，$$x_2=5。$

 解：移项，得$x^2+3x=-1，$

 配方，得$x^2+3x+\frac{9}{4}=-1+\frac{9}{4}，$

 即$(x+\frac{3}{2})^2=\frac{5}{4}，$

 开平方，得$x+\frac{3}{2}=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}，$

 解得$x_1=\frac{\sqrt{5}-3}{2}，$$x_2=\frac{-\sqrt{5}-3}{2}。$

③

 配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在右边忘记加。

解：移项，得$2x^2+8x=18。$

两边同时除以2，得$x^2+4x=9。$

配方，得$x^2+4x+4=9+4。$

$\therefore (x+2)^2=13。$
$\therefore x+2=\pm\sqrt{13}。$
$\therefore x_1=-2+\sqrt{13}，$$x_2=-2-\sqrt{13}。$

【分析】
要解决这个问题，需掌握配方法解一元二次方程的核心规则：对于形如$x^2 + bx$的式子，配成完全平方式需要加上一次项系数一半的平方。本题中方程左边是$x^2 -8x$，先确定一次项系数，再计算其一半的平方，即可得到需要添加的常数项。
【解析】
配方法解一元二次方程时，将方程左边配成完全平方式，需给$x^2 + bx$加上$(\frac{b}{2})^2$。本题方程为$x^2 -8x = -10$，其中一次项系数$b=-8$，则需添加的常数项为$(\frac{-8}{2})^2 = (-4)^2 =16$，因此等号左右两边需同时加16，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方式
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础操作，核心是掌握配方法中添加常数项的规则，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题考查用配方法解一元二次方程，解题思路是：配方法的核心是将一元二次方程左边配成完全平方式，对于形如$x^2 + bx = c$的方程，需在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边转化为$(x + \frac{b}{2})^2$的形式。本题中方程为$x^2 -8x = -1$，先确定一次项系数，计算其一半的平方，再给方程两边同时加上该平方数，即可得到变形后的完全平方式，进而选出正确选项。
【解析】
用配方法解方程$x^2 -8x = -1$，步骤如下：
1. 确定一次项系数：方程左边一次项系数为$-8$；
2. 计算一次项系数一半的平方：$(\frac{-8}{2})^2 = (-4)^2 = 16$；
3. 方程两边同时加上该平方数：$x^2 -8x +16 = -1 +16$；
4. 整理为完全平方式：$(x -4)^2 =15$。
因此变形后的结果为$(x -4)^2 =15$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程，一元二次方程的解法
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，主要考查学生对配方法核心步骤的掌握，属于一元二次方程解法中的基础内容，难度较低。
【难度系数】
0.7

【分析】本题考查一元二次方程配方法的应用，需逐一验证解方程的每一步操作是否符合配方法的规则，找出最先出错的步骤。配方法的核心是：二次项系数化为1后，移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，完成配方。
【解析】我们依次分析学生的解题步骤：
1. 步骤①：将方程$3x^2 -x -2=0$的二次项系数化为1，两边同除以3，得到$x^2 -\frac{1}{3}x -\frac{2}{3}=0$，变形正确；
2. 步骤②：移项，将常数项移到等号右侧，得到$x^2 -\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}$，变形正确；
3. 步骤③：配方时，应在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为$-\frac{1}{3}$，其一半的平方为$(-\frac{1}{6})^2=\frac{1}{36}$，正确配方应为$(x-\frac{1}{6})^2=\frac{2}{3}+\frac{1}{36}$，但学生错误地添加了$\frac{4}{9}$，因此步骤③最先出错；
4. 步骤④、⑤均基于错误的步骤③，后续变形也错误。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的配方法
【点评】本题聚焦一元二次方程配方法的基础操作，需牢记配方时添加的是一次项系数一半的平方，避免计算错误，是考查配方法细节的常见题型。
【难度系数】0.5

【分析】
本题考查一元二次方程的配方法，解题思路是通过配方法将给定的一元二次方程变形为完全平方式的形式，从而求出n的值。首先将原方程的常数项移到等号右侧，再对左侧的二次项和一次项进行配方，即加上一次项系数一半的平方，使左侧成为完全平方式，此时等号右侧的数值即为n的值。
【解析】
对一元二次方程$x^2 + 6x - 1 = 0$进行配方：
1. 移项：将常数项移到等号右边，得$x^2 + 6x = 1$；
2. 配方：一次项系数为6，其一半的平方为$(\frac{6}{2})^2 = 9$，在等号两边同时加上9，得$x^2 + 6x + 9 = 1 + 9$；
3. 变形：左侧可化为完全平方式$(x + 3)^2$，右侧为10，即$(x + 3)^2 = 10$，因此n的值为10。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程的配方法
【点评】
本题是一元二次方程配方法的基础应用题，核心考查配方法的基本操作步骤，难度较低，只要掌握配方法的规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8

【分析】这道题考查完全平方公式的应用，解题思路是：对于形如$x^2 + mx$的式子，要配成完全平方$(x + b)^2$，根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，可知需要添加的常数项是一次项系数一半的平方，即$b^2=(\frac{m}{2})^2$，对应的$b=\frac{m}{2}$，据此分别计算每个小题的空缺部分即可。
【解析】根据完全平方公式的配方规则：
(1) 一次项系数为16，其一半是$16÷2=8$，常数项为$8^2=64$，故填64和8；
(2) 一次项系数为-14，其一半是$-14÷2=-7$，常数项为$(-7)^2=49$，故填49和7；
(3) 一次项系数为7，其一半是$7÷2=\frac{7}{2}$，常数项为$(\frac{7}{2})^2=\frac{49}{4}$，故填$\frac{49}{4}$和$\frac{7}{2}$；
(4) 一次项系数为$-\frac{3}{4}$，其一半是$-\frac{3}{4}÷2=-\frac{3}{8}$，常数项为$(-\frac{3}{8})^2=\frac{9}{64}$，故填$\frac{9}{64}$和$\frac{3}{8}$。
【答案】(1) 64，8；(2) 49，7；(3) $\dfrac{49}{4}$，$\dfrac{7}{2}$；(4) $\dfrac{9}{64}$，$\dfrac{3}{8}$
【知识点】完全平方公式，配方法
【点评】本题是完全平方公式的基础应用，核心是掌握“配常数项为一次项系数一半的平方”这一配方方法，属于代数运算的基础题型，需熟练掌握。
【难度系数】0.8

【分析】
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为完全平方式，步骤为：①移项，将常数项移到方程右边；②配方，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边成为完全平方式；③开方，转化为两个一元一次方程求解。本题分两小问，分别按上述步骤操作即可。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 - 6x + 5 = 0$：
移项，得$x^2 - 6x = -5$；
配方，两边加一次项系数一半的平方$(-6÷2)^2=9$，得$x^2 -6x +9 = -5 +9$，即$(x-3)^2=4$；
开方，得$x-3=\pm2$；
解得$x=3\pm2$，即$x_1=5$，$x_2=1$。
(2) 对于方程$x^2 +3x=-1$：
配方，两边加一次项系数一半的平方$(3÷2)^2=\frac{9}{4}$，得$x^2 +3x +\frac{9}{4}=-1+\frac{9}{4}$，即$(x+\frac{3}{2})^2=\frac{5}{4}$；
开方，得$x+\frac{3}{2}=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}$；
解得$x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$，即$x_1=\frac{\sqrt{5}-3}{2}$，$x_2=\frac{-\sqrt{5}-3}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=1,x_2=5$；(2) $x_1=\dfrac{\sqrt{5}-3}{2},x_2=\dfrac{-\sqrt{5}-3}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，一元二次方程的解法
【点评】
本题为教材变式基础题，重点考察配方法解一元二次方程的标准步骤，需熟练掌握移项、配方、开方的操作，是一元二次方程解法的核心基础题型，适合巩固基础。
【难度系数】
0.6

【分析】
要解决这道题，需掌握配方法解一元二次方程的核心规则：配方时需利用等式的性质，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，才能保证等式成立。先逐一核对原解答的每一步，找出错误所在，再按正确步骤完成解方程。
【解析】
原解答中步骤③开始出错，原因是：配方时，一次项系数为4，其一半的平方是4，应在方程两边同时加上4，而原过程仅在方程左边加了4，右边未加，破坏了等式的平衡性。
正确解答过程如下：
移项，得 $2x^2 + 8x = 18$；
两边同时除以2，得 $x^2 + 4x = 9$；
配方，得 $x^2 + 4x + 4 = 9 + 4$，即 $(x + 2)^2 = 13$；
开方，得 $x + 2 = \pm\sqrt{13}$；
解得 $x_1 = -2 + \sqrt{13}$，$x_2 = -2 - \sqrt{13}$。
【答案】
③；配方时只在方程左边加上一次项系数一半的平方，右边忘记加；$x_1=-2+\sqrt{13}$，$x_2=-2-\sqrt{13}$
【知识点】
一元二次方程的配方法
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的典型易错题，考查配方法的关键操作，需牢记“等式两边同时加项”的规则，避免因忽略等式性质导致错误，是基础题型中需注意细节的题目。
【难度系数】
0.5