第7页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

D

C

$\frac{1}{4}$

7

4

 解：移项，得$8x^2=200，$

 两边同除以8，得$x^2=25，$

 直接开平方，得$x=\pm5，$

 所以$x_1=5,x_2=-5$

 解：由完全平方公式得$(x+6)^2=121，$

 直接开平方，得$x+6=\pm11，$

 当$x+6=11$时，解得$x_1=5，$

 当$x+6=-11$时，解得$x_2=-17$

 解：由第一象限角平分线上的点横纵坐标相等，得

 $m^2-14m+49=121，$即$(m-7)^2=121，$

 直接开平方，得$m-7=\pm11，$

 解得$m_1=18,m_2=-4$

$x_1=7,x_2=-1$

 解：由题意，得$(2x+1)^2 - 4^2=9，$

 整理得$(2x+1)^2=25，$

 直接开平方，得$2x+1=\pm5，$

 当$2x+1=5$时，解得$x_1=2，$

 当$2x+1=-5$时，解得$x_2=-3，$不符合边长为正的实际意义，舍去，

 所以$x$的值为2

【分析】
判断一元二次方程是否有实数根，可利用平方数的非负性：将方程变形为$x^2=k$的形式，若$k≥0$则方程有实数根，若$k＜0$则无实数根；也可通过根的判别式$\Delta=b^2-4ac$判断，$\Delta≥0$有实根，$\Delta＜0$无实根。接下来逐个分析选项即可。
【解析】
解：依次分析各选项：
选项A：方程$x^2 -1=0$，移项得$x^2=1$，因为$1＞0$，所以$x=\pm1$，有两个实数根，不符合题意；
选项B：方程$x^2=\sqrt{2}$，因为$\sqrt{2}＞0$，所以$x=\pm\sqrt{\sqrt{2}}$，有两个实数根，不符合题意；
选项C：方程$-7x^2 +4=0$，移项得$7x^2=4$，即$x^2=\frac{4}{7}$，因为$\frac{4}{7}＞0$，所以$x=\pm\frac{2\sqrt{7}}{7}$，有两个实数根，不符合题意；
选项D：方程$x^2 +\sqrt{3}=0$，移项得$x^2=-\sqrt{3}$，因为任何实数的平方都为非负数（$x^2≥0$），而$-\sqrt{3}＜0$，所以该方程没有实数根，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式；非负数的性质
【点评】
本题考查一元二次方程根的存在性判断，属于基础题型，利用平方数的非负性可快速得出结论，主要考查学生对基础知识点的掌握情况。
【难度系数】
0.8

【分析】首先根据数值运算程序，将运算过程转化为数学方程：输入x后，先计算$(x-1)^2$，再乘以2得到输出结果8，据此列出方程；再利用平方根的性质解一元二次方程，注意平方运算的结果有两个，需求出所有可能的x值，最后对应选项选出正确答案。
【解析】根据题意，可列出方程：$2(x-1)^2 = 8$。
步骤1：方程两边同时除以2，得：$(x-1)^2 = 4$；
步骤2：对等式两边开平方，得：$x - 1 = ±2$；
步骤3：分两种情况求解：
① 当$x - 1 = 2$时，解得$x = 3$；
② 当$x - 1 = -2$时，解得$x = -1$；
因此输入x的值为3或-1，对应选项C。
【答案】C
【知识点】一元二次方程的解法、平方根的性质
【点评】本题是基础的数值运算程序题，核心是根据程序列方程，利用平方根的性质求解，需注意平方运算的结果有两个，避免漏解，属于易得分的基础题。
【难度系数】0.7

【分析】
首先将原一元二次方程变形为x² = b/a，由ab＞0可知b/a＞0，因此方程的两个根互为相反数；根据一元二次方程根的性质，两根之和为0，据此求出m的值，进而得到方程的根，再求出b/a的值，最终得出a/b的值。
【解析】
解：原方程ax² = b（ab＞0）可变形为x² = b/a，
∵ab＞0，
∴b/a＞0，方程的两个根互为相反数，
∴两根之和为0，即：(m+1)+(2m-4)=0，
解得：3m - 3 = 0 → m=1，
则两个根分别为：m+1=1+1=2，2m-4=2×1 -4=-2，
∴方程为x²=4，即b/a=4，
∴a/b=1/4。
【答案】
1/4
【知识点】
一元二次方程的根与系数关系、直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题利用一元二次方程x²=k（k＞0）的两根互为相反数的性质简化计算，核心是通过根的和求出参数m，再推导目标值，属于基础应用题型。
【难度系数】
0.5

【分析】本题运用整体思想，将$a^2 + b^2$看作一个整体，设为未知数转化方程，再结合平方和的非负性舍去不合理的解，即可求出结果。
【解析】设$x = a^2 + b^2$，则原方程变为$(x - 2)^2 = 25$。
根据平方根的定义，得$x - 2 = ±5$，
当$x - 2 = 5$时，$x = 7$；
当$x - 2 = -5$时，$x = -3$。
因为$a^2 ≥ 0$，$b^2 ≥ 0$，所以$a^2 + b^2 ≥ 0$，故$x = -3$不符合题意，舍去。
因此$a^2 + b^2 = 7$。
【答案】7
【知识点】整体思想、平方根运算、非负数性质
【点评】本题考查整体思想在代数式求值中的应用，核心是将$a^2 + b^2$视为整体，同时需注意平方和的非负性，避免错误取值。
【难度系数】0.6

【分析】
要解决该问题，需明确硬纸板总面积等于15个封闭正方体的总表面积，因此先计算单个正方体的表面积，再结合正方体表面积公式推导棱长。具体思路：1. 用硬纸板总面积除以15，得到单个正方体的表面积；2. 根据正方体表面积公式（表面积=6×棱长²），求出单个面的面积；3. 对单个面的面积开算术平方根，得到正方体的棱长。
【解析】
已知硬纸板总面积为$1440\ \mathrm{dm}^2$，可制作15个同样的封闭正方体，因此单个正方体的表面积为：
$1440 ÷ 15 = 96\ (\mathrm{dm}^2)$
设正方体的棱长为$a\ \mathrm{dm}$，根据正方体表面积公式：
$6a^2 = 96$
化简得：$a^2 = 16$
由于棱长为正数，因此$a = \sqrt{16} = 4\ (\mathrm{dm})$
【答案】
4
【知识点】
正方体表面积公式，算术平方根
【点评】
本题为教材变式题，核心考查正方体表面积公式的应用，解题关键是理清总表面积与单个正方体表面积的关系，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.7

【分析】
解一元二次方程时，先观察方程形式选择合适方法：第(1)题先移项合并常数项，再将二次项系数化为1，得到x²等于非负数后用直接开平方法求解；第(2)题左边是完全平方式，可直接变形后用直接开平方法，注意开平方后有正负两种情况，避免漏解。
【解析】
(1) 移项，得 $8x^2 = 129 + 71$，
合并同类项，得 $8x^2 = 200$，
系数化为1，得 $x^2 = 25$，
开平方，得 $x = ±5$，
所以 $x_1 = 5$，$x_2 = -5$。
(2) 原方程变形为 $(x + 6)^2 = 121$，
开平方，得 $x + 6 = ±11$，
当 $x + 6 = 11$ 时，$x = 5$；
当 $x + 6 = -11$ 时，$x = -17$，
所以 $x_1 = 5$，$x_2 = -17$。
【答案】
14. (1) $x_1=5,x_2=-5$ (2) $x_1=5,x_2=-17$
【知识点】
一元二次方程的解法，直接开平方法，完全平方公式
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，通过移项、变形后利用直接开平方法求解，第(2)题涉及完全平方公式逆用，属于基础题型，主要检验学生对一元二次方程基本解法的掌握情况。
【难度系数】
0.3

【分析】
要解决这个问题，首先需明确平面直角坐标系中第一象限角平分线上的点的坐标特征：第一象限角平分线上的点，横、纵坐标相等，且均为正数。已知点A在该角平分线上，因此点A的横坐标等于纵坐标，据此可列出关于m的方程，再通过解一元二次方程求出m的值。
【解析】
根据第一象限角平分线上点的坐标特征，横坐标与纵坐标相等，可得方程：
$m^2 - 14m + 49 = 121$
对左边式子因式分解，得：
$(m - 7)^2 = 121$
两边开平方，得：
$m - 7 = ±11$
分两种情况求解：
① 当$m - 7 = 11$时，解得$m = 18$；
② 当$m - 7 = -11$时，解得$m = -4$。
验证可知，当$m=18$和$m=-4$时，点A的横坐标均为正数，符合第一象限的要求，故两个解均有效。
【答案】
$m_1=18$，$m_2=-4$
【知识点】
平面直角坐标系中点的坐标特征、一元二次方程的解法
【点评】
本题为基础题型，核心考查第一象限角平分线上点的坐标性质，解题关键是利用“横纵坐标相等”建立方程，再结合一元二次方程的解法求解，整体难度适中，属于学生应掌握的基础知识点。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题运用整体思想求解，两个方程结构一致，仅括号内的表达式不同。已知第一个方程的解，可将第二个方程中括号内的部分看作整体，利用第一个方程中对应整体的取值来计算第二个方程的解。具体来说，先根据第一个方程的解确定$(x+n)$的取值，再令第二个方程中$(x+n-2)$等于这些取值，即可求出$x$的值。
【解析】
已知方程$a(x+n)^2 + b = 0$的解为$x_1=5$，$x_2=-3$，因此当$x=5$时，$x+n=5+n$；当$x=-3$时，$x+n=-3+n$，即对于方程$a(m)^2 + b = 0$，$m$的解为$m_1=5+n$，$m_2=-3+n$。
对于方程$a(x+n-2)^2 + b = 0$，令$m=x+n-2$，则该方程等价于$a(m)^2 + b = 0$，因此$m$的解仍为$m_1=5+n$，$m_2=-3+n$。
分别求解：
1. 当$x+n-2=5+n$时，两边消去$n$，得$x=5+2=7$；
2. 当$x+n-2=-3+n$时，两边消去$n$，得$x=-3+2=-1$。
故方程$a(x+n-2)^2 + b = 0$的解为$x_1=7$，$x_2=-1$。
【答案】
$x_1=7,x_2=-1$
【知识点】
整体思想，一元二次方程的解
【点评】
本题是整体思想在一元二次方程求解中的典型应用，通过将相同结构的部分视为整体，简化了计算过程，避免了展开方程的复杂步骤，体现了数学中整体代换的重要性，需熟练掌握该方法。
【难度系数】
0.6

【分析】首先明确阴影部分面积等于大正方形面积减去剩下的小正方形面积，已知阴影面积为9，大正方形边长为$(2x+1)$，小正方形边长为4，据此列出关于$x$的方程，解方程后根据实际意义舍去不合理的解，即可得到$x$的值。
【解析】根据题意，大正方形的边长为$(2x+1)$，其面积为$(2x+1)^2$；剩下的小正方形边长为4，面积为$4^2=16$。因为阴影部分面积为9，所以大正方形面积减去小正方形面积等于阴影部分面积，可列方程：
$(2x+1)^2 - 4^2 = 9$
化简得：$(2x+1)^2 - 16 = 9$
移项得：$(2x+1)^2 = 25$
开平方得：$2x+1 = ±5$
由于边长为正数，舍去$2x+1=-5$（边长不能为负），取$2x+1=5$
解方程$2x+1=5$，得$2x=4$，即$x=2$。
【答案】2
【知识点】正方形面积计算，一元二次方程应用，实际问题解的取舍
【点评】本题通过正方形面积关系建立一元二次方程，解题关键是明确各部分面积的关系，需注意根据实际意义舍去不符合题意的解，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6