第9页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

D

B

二

 解：配方，得$x^2+2x+1=-1+1，$

 即$(x+1)^2=0，$

 开平方得$x+1=0，$

 解得$x_1=x_2=-1。$

 解：移项，得$x^2+12x=-11，$

 配方，得$x^2+12x+36=-11+36，$

 即$(x+6)^2=25，$

 开平方，得$x+6=\pm5，$

 解得$x_1=-1，$$x_2=-11。$

 解：整理方程，得$x^2+5x+1=0，$

 移项，得$x^2+5x=-1，$

 配方，得$x^2+5x+\frac{25}{4}=-1+\frac{25}{4}，$

 即$(x+\frac{5}{2})^2=\frac{21}{4}，$

 开平方，得$x+\frac{5}{2}=\pm\frac{\sqrt{21}}{2}，$

 解得$x_1=-\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{21}}{2}，$$x_2=-\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{21}}{2}。$

 解：整理方程，得$3x^2-6x+2=0，$

 两边同时除以3，得$x^2-2x+\frac{2}{3}=0，$

 移项，得$x^2-2x=-\frac{2}{3}，$

 配方，得$x^2-2x+1=-\frac{2}{3}+1，$

 即$(x-1)^2=\frac{1}{3}，$

 开平方，得$x-1=\pm\frac{\sqrt{15}}{3}，$

 解得$x_1=1+\frac{\sqrt{15}}{3}，$$x_2=1-\frac{\sqrt{15}}{3}。$

 解：不同意小聪的说法。

 理由：$x^2-10x+36=x^2-10x+25+11=(x-5)^2+11，$

 当$x=5$时，$x^2-10x+36=11，$

 因此存在实数x使得该二次三项式的值为11，所以不同意小聪的说法。

 解：由$3x+y=4，$$2y+3z=2，$得$3x+3y+3z=6，$

 即$x+y+z=2，$因此$z=2-x-y。$

 将$z=2-x-y$代入代数式$3xy+2yz+xz$：

 $ \begin{aligned}&3xy+2yz+xz\\=&3xy+z(2y+x)\\=&3xy+(2-x-y)(2y+x)\\ =&3xy+4y+2x-2xy-x^2-2y^2-xy\\ =&4y+2x-x^2-2y^2\\ =&3-[(x-1)^2+2(y-1)^2] \end{aligned} $

 因为$(x-1)^2\ge0，$$(y-1)^2\ge0，$所以$(x-1)^2+2(y-1)^2\ge0，$

 因此$3-[(x-1)^2+2(y-1)^2]\le3，$

 即代数式$3xy+2yz+xz$的最大值为3。

【分析】要解决本题，需先通过配方法将给定的一元二次方程转化为$(x+m)^2=n$的形式，根据配方后右边的$n≥0$的条件，求出$k$的取值范围，再结合选项判断$k$不可能的值。
【解析】对于一元二次方程$x^2 -10x +k=0$，用配方法变形：
1. 移项：将常数项移到等号右边，得$x^2 -10x = -k$；
2. 配方：等号两边同时加上一次项系数一半的平方，即$(\frac{-10}{2})^2=25$，得$x^2 -10x +25 = -k +25$；
3. 整理为完全平方形式：$(x-5)^2 = 25 -k$。
因为方程可化成$(x+m)^2=n(n≥0)$的形式，所以右边的$25 -k≥0$，解得$k≤25$。
观察选项：A选项$k=9≤25$，符合；B选项$k=20≤25$，符合；C选项$k=25≤25$，符合；D选项$k=26＞25$，不符合，故$k$的值不可能是26。
【答案】D
【知识点】一元二次方程配方法、不等式的应用
【点评】本题考查一元二次方程的配方法，核心是掌握配方法的操作规则及配方后右边非负的限制条件，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.6

【分析】
要解决本题，需分两步推导：第一步，对含b、c的二次等式用配方法求出b、c的具体值；第二步，利用余弦定理求出角A，再结合三角形面积公式计算面积。首先将给定的b、c二次等式整理为标准形式，通过配方得到完全平方和为0，从而确定b、c的值；再根据余弦定理的结构，对比已知的a²表达式求出角A，最后代入面积公式得到结果。
【解析】
1. 求b、c的值：
对等式$b^2 + c^2 = 2b + 4c -5$移项得：
$b^2 -2b + c^2 -4c +5 =0$
配方变形为：$(b-1)^2 + (c-2)^2=0$
因为平方数非负，所以$b-1=0$，$c-2=0$，解得$b=1$，$c=2$。
2. 求角A：
根据余弦定理：$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$，已知$a^2 = b^2 + c^2 - bc$，对比两式得：
$-2bc\cos A = -bc$，约去$-bc$（$b,c＞0$），得$\cos A=\frac{1}{2}$
因为$0° ＜ A ＜180°$，所以$A=60°$，$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
3. 计算三角形面积：
三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}bc\sin A$，代入$b=1,c=2,\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$：
$S=\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
配方法、余弦定理、三角形面积公式
【点评】
本题综合考查代数配方与三角形的余弦定理、面积公式，属于基础题型，需熟练掌握配方法求参数值及余弦定理的应用，难度适中。
【难度系数】
0.6

【分析】
要解决这个问题，需先通过配方法将一元二次方程转化为指定形式，得到p、q的值，再根据一次函数的性质判断直线不经过的象限。具体思路：1. 对给定的一元二次方程进行配方，求出p和q的值；2. 代入直线解析式，结合一次函数$y=kx+b$中k、b的符号判断直线经过的象限，进而确定不经过的象限。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2 + 8x + 3 = 0$进行配方：
移项得：$x^2 + 8x = -3$
两边同时加上一次项系数一半的平方（即$(\frac{8}{2})^2 = 16$）：
$x^2 + 8x + 16 = -3 + 16$
整理得：$(x + 4)^2 = 13$，即$(x + 4)^2 - 13 = 0$
对比$(x + p)^2 + q = 0$的形式，可得$p = 4$，$q = -13$。
则直线解析式为$y = 4x - 13$，其中$k = 4 ＞ 0$，$b = -13 ＜ 0$。
根据一次函数性质：当$k ＞ 0$，$b ＜ 0$时，直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限。
【答案】
二
【知识点】
一元二次方程的配方法；一次函数的图像性质
【点评】
本题结合一元二次方程的配方法与一次函数的图像性质，属于基础题型，重点考察学生对配方法的掌握及一次函数象限判断的能力，解题思路清晰，步骤明确。
【难度系数】
0.6

【分析】
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为完全平方式，具体步骤为：①若方程不是一般形式，先整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）；②移项，将常数项移到等号右侧；③配方，在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，使左侧成为完全平方式；④开方，转化为两个一元一次方程求解。本题需按此步骤对每个方程逐一处理。
【解析】
(1) 方程已整理为$x^2 + 2x = -1$，一次项系数为2，其一半的平方为$(\frac{2}{2})^2=1$，两边加1得：
$x^2 + 2x +1 = -1 +1$ → $(x+1)^2=0$，开方得$x+1=0$，解得$x_1=x_2=-1$；
(2) 移项得$x^2 +12x = -11$，一次项系数为12，其一半的平方为$(\frac{12}{2})^2=36$，两边加36得：
$x^2 +12x +36 = -11 +36$ → $(x+6)^2=25$，开方得$x+6=±5$，
当$x+6=5$时，$x=-1$；当$x+6=-5$时，$x=-11$，故$x_1=-1,x_2=-11$；
(3) 先整理原方程：$x^2 +9x=4x-1$ → $x^2 +5x +1=0$，移项得$x^2 +5x=-1$，一次项系数为5，其一半的平方为$(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$，两边加$\frac{25}{4}$得：
$x^2 +5x +\frac{25}{4} = -1 +\frac{25}{4}$ → $(x+\frac{5}{2})^2=\frac{21}{4}$，开方得$x+\frac{5}{2}=±\frac{\sqrt{21}}{2}$，
当$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{21}}{2}$时，$x=-\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{21}}{2}$；当$x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{21}}{2}$时，$x=-\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{21}}{2}$，故$x_1=-\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{21}}{2},x_2=-\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{21}}{2}$；
(4) 先展开并整理原方程：左边$=3(x^2+2x -x -2)=3x^2+3x-6$，右边$=9x-4$，移项得：
$3x^2+3x-6 -9x +4=0$ → $3x^2-6x-2=0$，两边除以3得$x^2-2x -\frac{2}{3}=0$，移项得$x^2-2x=\frac{2}{3}$，一次项系数为-2，其一半的平方为$(\frac{-2}{2})^2=1$，两边加1得：
$x^2-2x +1 =\frac{2}{3}+1$ → $(x-1)^2=\frac{5}{3}$，开方得$x-1=±\frac{\sqrt{15}}{3}$，
当$x-1=\frac{\sqrt{15}}{3}$时，$x=1+\frac{\sqrt{15}}{3}$；当$x-1=-\frac{\sqrt{15}}{3}$时，$x=1-\frac{\sqrt{15}}{3}$，故$x_1=1+\frac{\sqrt{15}}{3},x_2=1-\frac{\sqrt{15}}{3}$；
【答案】
(1) $x_1=x_2=-1$；(2) $x_1=-1,x_2=-11$；(3) $x_1=-\dfrac{5}{2}+\dfrac{\sqrt{21}}{2},x_2=-\dfrac{5}{2}-\dfrac{\sqrt{21}}{2}$；(4) $x_1=1+\dfrac{\sqrt{15}}{3},x_2=1-\dfrac{\sqrt{15}}{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，一元二次方程的解法
【点评】
本题为教材变式题，重点考察配方法解一元二次方程的基本操作，需熟练掌握移项、配方（加一次项系数一半的平方）、开方求解的步骤，尤其注意整理方程为标准形式后再配方，计算时需关注符号和分数运算的准确性，是一元二次方程解法的基础题型。
【难度系数】
0.6

【分析】要判断二次三项式$x^2 -10x +36$的值是否能等于11，可通过配方法对原式变形，将其转化为完全平方式加常数的形式，分析是否存在实数$x$使式子的值为11，进而判断小聪的说法是否正确。
【解析】假设$x^2 -10x +36 =11$，移项得$x^2 -10x +25 =0$，配方可得$(x -5)^2 =0$，解得$x=5$。即当$x=5$时，$x^2 -10x +36=11$，因此小聪的结论错误，不同意他的说法。
【答案】不同意理由：$\because x^{2}-10x+36=x^{2}-10x+25+11=(x-5)^{2}+11,\therefore$当$x=5$时，$x^{2}-10x+36=11$。$\therefore$不同意小聪的说法。
【知识点】配方法的应用，一元二次方程的解
【点评】本题考查配方法的基础应用，通过配方将二次式转化为完全平方式的形式，直观判断式子能否取到特定值，属于基础题型。
【难度系数】0.6

【分析】本题是求多元代数式的最大值，已知两个方程含三个变量，需先通过消元减少变量数量。首先将两个已知等式相加，得到三个变量的和，从而用x、y表示出z；再将z代入目标代数式，展开化简后通过配方法转化为含平方和的形式，利用平方的非负性即可求出代数式的最大值。
【解析】由已知条件$3x+y=4$和$2y+3z=2$，两式相加得：$3x+y+2y+3z=4+2$，即$3(x+y+z)=6$，解得$x+y+z=2$，因此$z=2-x-y$。将$z=2-x-y$代入代数式$3xy+2yz+xz$中：
$\begin{aligned}原式&=3xy + 2y(2-x-y) + x(2-x-y)\\&=3xy + 4y - 2xy - 2y^2 + 2x - x^2 - xy\\&=4y + 2x - x^2 - 2y^2\\&=3 - [(x-1)^2 + 2(y-1)^2]\end{aligned}$
因为$(x-1)^2≥0$，$2(y-1)^2≥0$，所以$(x-1)^2 + 2(y-1)^2≥0$，则$-[(x-1)^2 + 2(y-1)^2]≤0$，因此$3 - [(x-1)^2 + 2(y-1)^2]≤3$，即代数式的最大值为3。
【答案】3
【知识点】代数式化简、配方法求最值、消元法
【点评】本题考查多元变量代数式的最值求解，核心方法是消元法减少变量，再通过配方法将代数式转化为非负式的形式，利用平方的非负性求最值，解题关键在于消元后正确化简并配方，属于中等难度的代数最值问题。
【难度系数】0.5