解：$(1) $将$2$个红球和$2$个白球分别编号为红$1$，红$2$，白$1$，白$2$。画树状图如下：
$ $所有等可能的结果共$12$种，分别为$($红$1，$红$2)，($红$1，$白$1)，($红$1，$白$2)，($红$2，$红$1)，($红$2，$白$1)，$
$($红$2，$白$2)，($白$1，$红$1)，($白$1，$红$2)，($白$1，$白$2)，($白$2，$红$1)，($白$2，$红$2)，($白$2，$白$1)$。
$ (2) $这个游戏对甲、乙双方不公平。理由如下：
由树状图可知，共有$12$种等可能的结果，其中摸到的$2$个小球的颜色相同的结果有$4$种，颜色
不同的结果有$8$种，
$ $因此$P($甲获胜$)=\frac {4}{12}=\frac {1}{3}$，$P($乙获胜$)=\frac {8}{12}=\frac {2}{3}$。
$ $因为$P($甲获胜$)≠ P($乙获胜$)$，
所以这个游戏对甲、乙双方不公平。
