解：$ (2) $原方程两边平方，得$2x+3=x^2$，即$x^2-2x-3=0$，
$ $解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
检验：当$x=3$时，左边$\sqrt {2×3+3}=3$，右边$=3$，等式成立；
$ $当$x=-1$时，左边$\sqrt {2×(-1)+3}=1$，右边$=-1$，等式不成立，舍去。
$ $故原方程的解为$x=3$。
$ (3) $设$AP=x\ \mathrm {m}$，则$PD=(8-x)\ \mathrm {m}$。
$ $在$Rt△ ABP_{中}$，$BP=\sqrt {AP^2+AB^2}=\sqrt {x^2+9}\ \mathrm {m}$，
$ $在$Rt△ PDC$中，$CP=\sqrt {PD^2+DC^2}=\sqrt {(8-x)^2+9}\ \mathrm {m}$，
$ $由题意得$BP+CP=10$，即$\sqrt {x^2+9}+\sqrt {(8-x)^2+9}=10$，
$ $移项得$\sqrt {(8-x)^2+9}=10-\sqrt {x^2+9}$，
$ $两边平方得$(8-x)^2+9=100+x^2+9-20\sqrt {x^2+9}$，
$ $整理得$5\sqrt {x^2+9}=4x+9$，
$ $两边再次平方得$25(x^2+9)=(4x+9)^2$，
$ $整理得$x^2-8x+16=0$，解得$x_1=x_2=4$。
经检验，$x=4$是原方程的解。
$ $故$AP $的长为$4\ \mathrm {m}$。
