解：$(1) $设两动点运动$t s $时，四边形$PBCQ $的面积是矩形$ABCD$面积的$\frac {4}{9}$。
$ $矩形$ABCD$的面积为$AB· AD=6×2=12\ \mathrm {cm}^2$，
$ $此时$AP=2t\mathrm {cm}$，
所以$BP=(6-2t)\mathrm {cm}$，$CQ=t\mathrm {cm}$，
$ $四边形$PBCQ $是直角梯形，其面积为$\frac {1}{2}(CQ+BP)· BC=\frac {1}{2}(t+6-2t)×2=6-t$，
$ $由题意得$6-t=\frac {4}{9}×12$，
$ $解得$t=\frac {2}{3}$。
$ $故两动点运动$\frac {2}{3}\ \mathrm {s} $时，四边形$PBCQ $的面积是矩形$ABCD$面积的$\frac {4}{9}$。
$ (2) $存在。设两动点运动$x\ \mathrm {s} $时，点$P $与点$Q $之间的距离为$\sqrt {5}\mathrm {cm}$。
$ ① $当$0≤ x≤3$时，点$P $在线段$AB$上，过点$P_{作}PE⊥ CD$于点$E$，
$ $则$PE=AD=2\ \mathrm {cm}$，$EQ=|6-3x|\mathrm {cm}$，
$ $由勾股定理得$PE^2+EQ^2=PQ^2$，即$2^2+(6-3x)^2=(\sqrt {5})^2$，
$ $整理得$9x^2-36x+35=0$，解得$x_1=\frac {5}{3}$，$x_2=\frac {7}{3}$，均符合范围。
$ ② $当$3＜x≤4$时，点$P $在线段$BC$上，此时$PC=(8-2x)\mathrm {cm}$，$CQ=x\mathrm {cm}$，
$ $由勾股定理得$PC^2+CQ^2=PQ^2$，即$(8-2x)^2+x^2=5$，
$ $整理得$5x^2-32x+59=0$，判别式$∆=32^2-4×5×59=-36＜0$，该方程无实数根。
综上所述，存在满足条件的时刻，运动所需的时间为$\frac {5}{3}\ \mathrm {s}_{或}\frac {7}{3}\ \mathrm {s}$。
