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解：$ (1) $因为$x_1，x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2-2kx+k^2-k+1=0$的两个不相等的实数根，

$ $所以判别式$∆=(-2k)^2-4×1×(k^2-k+1)＞0$，

$ $化简得$4k-4＞0$，解得$k＞1$。

$ $故$k$的取值范围是$k＞1$。

$ (2) $因为$1＜k＜5$，且$k$为整数，所以$k$的可能取值为$2$，$3$，$4$。

$ $当$k=2$时，原方程化为$x^2-4x+3=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，均为整数，符合题意；

$ $当$k=3$时，原方程化为$x^2-6x+7=0$，解得$x_1=3+\sqrt {2}$，$x_2=3-\sqrt {2}$，不是整数，舍去；

$ $当$k=4$时，原方程化为$x^2-8x+13=0$，解得$x_1=4+\sqrt {3}$，$x_2=4-\sqrt {3}$，不是整数，舍去。

综上所述，$k$的值为$2$。

解：设小路的宽度为$x\ \mathrm {m}$。

由题意，得$(20-4x)(14-4x)=24×9$，

$ $整理得$2x^2-17x+8=0$，

$ $解得$x_1=0.5$，$x_2=8$。

$ $因为$x=8$时，$20-4x＜0$，不符合实际，舍去。

$ $故小路的宽度为$0.5\ \mathrm {m}$。

解：$(1) $设$2$月、$3$月生产收入的月增长率为$x$。

$ $由题意得$100+100(1+x)+100(1+x)^2=364$，

$ $整理得$x^2+3x-0.64=0$，

$ $解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-3.2($不符合题意，舍去）。

$ $故$2$月、$3$月生产收入的月增长率是$20\%$。

$ (2) 3$月的生产收入为$100×(1+20\%)^2=144$万元，

设使用新设备$y$个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润。

$ $由题意得$364+144(y-3)-640≥(90-5)y$，

$ $化简得$59y≥708$，

解得$y≥12$。

$ $故使用新设备$12$个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润。