解：当$n=1$时，$\begin{cases}a=\frac{1}{2}(m^2-1),\\b=m,\\c=\frac{1}{2}(m^2+1).\end{cases}$
$\because$ 直角三角形有一边的长为5，
$\therefore$ ① 当$a=\frac{1}{2}(m^2-1)=5$时，得$m^2=11，$不符合题意，舍去；
② 当$b=m=5$时，$a=\frac{1}{2}×(5^2-1)=12，$$c=\frac{1}{2}×(5^2+1)=13；$
③ 当$c=\frac{1}{2}(m^2+1)=5$时，得$m^2=9，$由$m＞0，$得$m=3，$
则$a=\frac{1}{2}×(3^2-1)=4，$$b=3。$
综上所述，直角三角形的另外两条边的长分别为12，13或3，4。
