解：设DC与BE相交于点G。
$\because$ 四边形ABCD是长方形，
$\therefore ∠ D=∠ A=∠ C=90°，$$AD=BC=6\ \mathrm{cm}，$$CD=AB=8\ \mathrm{cm}。$
根据折叠的特征，得$△ EBP ≌ △ ABP，$
$\therefore EP=AP，$$∠ E=∠ A=90°，$$BE=BA=8\ \mathrm{cm}，$
$\therefore ∠ D=∠ E。$
在$△ ODP$和$△ OEG$中，
$\begin{cases}∠ D=∠ E,\\OD=OE,\\∠ DOP=∠ EOG,\end{cases}$
$\therefore △ ODP ≌ △ OEG，$
$\therefore OP=OG，$$PD=GE，$
$\therefore OP+OE=OG+OD，$即$EP=DG。$
设$AP=x\ \mathrm{cm}，$则$PD=GE=(6-x)\ \mathrm{cm}，$$EP=DG=x\ \mathrm{cm}。$
$\therefore CG=CD-DG=(8-x)\ \mathrm{cm}，$
$BG=BE-GE=8-(6-x)=(2+x)\ \mathrm{cm}。$
在$\mathrm{Rt}△ BCG$中，由勾股定理，得$BC^2+CG^2=BG^2，$
即$6^2+(8-x)^2=(2+x)^2，$
解得$x=4.8。$
$\therefore AP$的长为$4.8\ \mathrm{cm}。$
