证明：
$ (1)$
∵$ △ ACB$和$△ ECD$都是等腰直角三角形，
∴$ AC=BC$，$CD=CE$。
∵$ ∠ ACB=∠ ECD=90°$，
∴$ ∠ BCD+∠ ACD=∠ ACE+∠ ACD$，
∴$ ∠ BCD=∠ ACE$。
$ $在$△ ACE$和$△ BCD$中，
$ \begin {cases}\ \mathrm {AC}=BC， \\∠ ACE=∠ BCD， \\CE=CD， \end {cases}$
∴$ △ ACE ≌ △ BCD$。
$ (2)$
∵$ △ ACB$是等腰直角三角形，
∴$ ∠ B=∠ BAC=45°$。
∵$ △ ACE ≌ △ BCD$，
∴$ EA=DB$，$∠ CAE=∠ B=45°$，
∴$ ∠ DAE=∠ CAE+∠ BAC=45°+45°=90°$，
∴$ AD^2+EA^2=DE^2$，
∴$ AD^2+DB^2=DE^2$。
又 ∵$ △ ECD$是等腰直角三角形，
∴$ CD^2+CE^2=2CD^2=DE^2$，
∴$ AD^2+DB^2=2CD^2$。
