解：
$ (1) $如图$①$，过点$A$作$AH ⊥ MN$于点$H$，连接$AB$。
由题意，得$AH=12 (\mathrm {cm})$，
$BH=16-2×5.5=5(\mathrm {cm})$。
∵$AB^2=BH^2+AH^2$，
∴$AB=13 (\mathrm {cm})$，
即若蜂蜜在杯外壁，则蚂蚁最少应爬行$13\ \mathrm {cm} $就能吃到蜂蜜。
$ (2) $如图$②$，作点$A$关于$PM$的对称点$A'$，过点$A'$作直线$MN$的垂线，垂足为$D$，
连接$A'B$。
$ $易得$MD=PA'=PA=5.5 (\mathrm {cm})$，
$BD=16-5.5+5.5=16(\mathrm {cm})$，
$A'D=12 (\mathrm {cm})$。
∵$A'B^2=A'D^2+BD^2$，
∴$A'B=20 (\mathrm {cm})$，
即若蜂蜜在杯内壁，蚂蚁要吃到蜂蜜，则最少应爬行$20\ \mathrm {cm}$。
