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第11页

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$-6$

二、三、四

 解：

 移项，得$\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{3}x=\frac{1}{6}，$

 二次项系数化为1，得$x^2+x=\frac{1}{2}，$

 配方，得$x^2+x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}，$

 即$(x+\frac{1}{2})^2=\frac{3}{4}，$

 开方，得$x+\frac{1}{2}=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}，$

 解得$x_1=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}，$$x_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}。$

 解：

 移项，得$3x^2-2x=5，$

 二次项系数化为1，得$x^2-\frac{2}{3}x=\frac{5}{3}，$

 配方，得$x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{5}{3}+\frac{1}{9}，$

 即$(x-\frac{1}{3})^2=\frac{16}{9}，$

 开方，得$x-\frac{1}{3}=\pm\frac{4}{3}，$

 解得$x_1=-1，$$x_2=\frac{5}{3}。$

 解：

 移项，得$-2y^2+2\sqrt{2}y=-1，$

 二次项系数化为1，得$y^2-\sqrt{2}y=\frac{1}{2}，$

 配方，得$y^2-\sqrt{2}y+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}，$

 即$(y-\frac{\sqrt{2}}{2})^2=1，$

 开方，得$y-\frac{\sqrt{2}}{2}=\pm1，$

 解得$y_1=1+\frac{\sqrt{2}}{2}，$$y_2=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}。$

 解：

 先整理方程，得$2x^2-9x-34=0，$

 移项，得$2x^2-9x=34，$

 二次项系数化为1，得$x^2-\frac{9}{2}x=17，$

 配方，得$x^2-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=17+\frac{81}{16}，$

 即$(x-\frac{9}{4})^2=\frac{353}{16}，$

 开方，得$x-\frac{9}{4}=\pm\frac{\sqrt{353}}{4}，$

 解得$x_1=\frac{\sqrt{353}}{4}+\frac{9}{4}，$$x_2=-\frac{\sqrt{353}}{4}+\frac{9}{4}。$

 解：

 解不等式$x+1＜3x-3，$得$x＞2，$

 解不等式$\frac{1}{2}(x-4)＜\frac{1}{3}(x-4)，$得$x＜4，$

 所以不等式组的解集为$2＜x＜4。$

 解方程$2x^2-3x-5=0，$

 移项得$2x^2-3x=5，$

 二次项系数化为1得$x^2-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}，$

 配方得$x^2-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{2}+\frac{9}{16}，$

 即$(x-\frac{3}{4})^2=\frac{49}{16}，$

 开方得$x-\frac{3}{4}=\pm\frac{7}{4}，$

 解得$x_1=-1，$$x_2=\frac{5}{2}。$

 因为$2＜x＜4，$所以满足条件的方程的根为$x=\frac{5}{2}。$

 证明：

 对二次项系数变形，得

 $-2m^2+8m-12=-2(m-2)^2-4，$

 因为对于任意实数$m，$总有$(m-2)^2\ge0，$

 所以$-2(m-2)^2\le0，$

 因此$-2(m-2)^2-4\le-4，$

 即对于任意实数$m，$代数式$-2m^2+8m-12$的值总不等于0，

 所以对于任意实数$m，$关于$x$的方程$(-2m^2+8m-12)x^2-3x+1=0$都是一元二次方程。