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$9<x<39$
$15≤ x<17$
$m≤4$
解:解不等式$2x≤6-x,$得
$\begin{aligned}2x+x&≤6 \\3x&≤6 \\x&≤2\end{aligned}$
解不等式$\frac{2(x+5)}{3}>2,$得
$\begin{aligned}2(x+5)&>6 \\2x+10&>6 \\2x&>-4 \\x&>-2\end{aligned}$
所以不等式组的解集为$-2<x≤2$
其整数解为$-1,0,1,2,$整数解的和为$-1+0+1+2=2$