解：
(1) 当$k=0$时，不等式组为$\begin{cases}x＞-1 \\ x＞1 \\ x＜3\end{cases}，$解集为$1＜x＜3；$
当$k=3$时，不等式组为$\begin{cases}x＞2 \\ x＞1 \\ x＜3\end{cases}，$解集为$2＜x＜3；$
当$k=5$时，不等式组为$\begin{cases}x＞4 \\ x＞1 \\ x＜3\end{cases}，$此时不等式组无解。
(2) 要使不等式组的解集是$1＜x＜3，$则需$k-1≤1，$解得$k≤2。$
即当$k≤2$时，不等式组的解集是$1＜x＜3。$
