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【解析】
设正方形$A_nB_nC_nD_n$的边长为$a_n$，其面积为$S_n=a_n^2$。
根据勾股定理可得：
$a_n^2=a_{n-1}^2+(2a_{n-1})^2=5a_{n-1}^2$，即$S_n=5S_{n-1}$。
已知正方形$A_1B_1C_1D_1$的边长为1，故$S_1=1^2=1$。
由此可得：
$S_2=5S_1=5$，
$S_3=5S_2=5^2$，
$S_4=5S_3=5^3$，
以此类推，正方形$A_nB_nC_nD_n$的面积$S_n=5^{n-1}$。
【答案】
$5^{n-1}$
【知识点】
勾股定理，规律探究，正方形面积公式
【点评】
本题借助勾股定理建立相邻正方形边长的数量关系，推导面积的递推规律，考查归纳推理能力，需熟练运用勾股定理与正方形面积公式。

【解析】
(1) 由折叠性质得$∠ EMB'=∠ A=90°$，$EM=AE$，结合$∠ D=∠ C=90°$，可证$△ DME ∽ △ CGM$。
已知正方形边长为1，M是CD中点，故$DM=CM=\frac{1}{2}$。设$DE=x$，则$EM=AE=1-x$，在$Rt△ DME$中，由勾股定理得：
$x^2+(\frac{1}{2})^2=(1-x)^2$，
解得$x=\frac{3}{8}$。
由相似三角形性质$\frac{CM+CG+MG}{DM+DE+EM}=\frac{MC}{DE}$，代入$DM+DE+EM=\frac{3}{2}$，得：
$CM+CG+MG=\frac{3}{2}×\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{8}}=2$。
(2) 已知$DM=\frac{1}{3}CD$，正方形边长为1，故$DM=\frac{1}{3}$，$CM=\frac{2}{3}$。设$DE=y$，则$EM=AE=1-y$，在$Rt△ DME$中，由勾股定理得：
$y^2+(\frac{1}{3})^2=(1-y)^2$，
解得$y=\frac{4}{9}$。
同理由$△ DME ∽ △ CGM$，得$\frac{CM+CG+MG}{DM+DE+EM}=\frac{MC}{DE}$，代入$DM+DE+EM=\frac{4}{3}$，得：
$CM+CG+MG=\frac{4}{3}×\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{9}}=2$。
(3) 猜想：当M是CD边上任意一点时，$CM+CG+MG=2$总成立。
证明：设$DM=a$，$DE=b$，则$CM=1-a$，$EM=AE=1-b$。在$Rt△ DME$中，由勾股定理得$a^2+b^2=(1-b)^2$，整理得$1-a^2=2b$。
由$△ DME ∽ △ CGM$，得$\frac{CM+CG+MG}{DM+DE+EM}=\frac{MC}{DE}$，代入$DM+DE+EM=1+a$，得：
$CM+CG+MG=(1+a)·\frac{1-a}{b}=\frac{1-a^2}{b}=\frac{2b}{b}=2$，猜想成立。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；
(2) $\boldsymbol{2}$；
(3) 猜想：当M是CD边上任意一点时，$\boldsymbol{CM+CG+MG=2}$总成立，证明如上。
【知识点】
折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查折叠的性质、相似三角形与勾股定理的应用，通过设未知数构建方程，结合相似比例关系求解，体现了方程思想与转化思想，提升逻辑推理与运算能力。