第115页 - 苏科版数学补充习题九年级上下册答案

$解：(1)\sqrt {5+\frac {5}{24}}=\sqrt {\frac {125}{24}}=5\sqrt {\frac {5}{24}}$

$(2)猜想：\sqrt {n+\frac n{n^2-1}}=n\sqrt {\frac n{n^2-1}}(n为正整数)$

$证明：\sqrt {n+\frac n{n^2-1}}=\sqrt {\frac {n^3}{n^2-1}}=n\sqrt {\frac n{n^2-1}}，等式成立$

解：$\sqrt 3-\sqrt 2＜\sqrt 2-1，$$\sqrt 4-\sqrt 3＜\sqrt 3-\sqrt 2，$$\sqrt 5-\sqrt 4＜\sqrt 4-\sqrt 3$

猜想：$\sqrt {n+1}-\sqrt n＜\sqrt n-\sqrt {n-1}(n$是大于等于$1$的正整数$)$

证明：$\sqrt {n+1}-\sqrt {n}=\frac {(\sqrt {n+1}-\sqrt n)(\sqrt {n+1}+\sqrt n)}{\sqrt {n+1}+\sqrt n}=\frac 1{\sqrt {n+1}+\sqrt n}$

$\sqrt n-\sqrt {n-1}=\frac {(\sqrt n-\sqrt {n-1})(\sqrt n+\sqrt {n-1})}{\sqrt n+\sqrt {n-1}}=\frac 1{\sqrt n+\sqrt {n-1}}$

∵$\sqrt {n+1}+\sqrt n＞\sqrt n+\sqrt {n-1}$

∴$\frac 1{\sqrt {n+1}+\sqrt n}＜\frac 1{\sqrt n+\sqrt {n-1}}$

∴$\sqrt {n+1}-\sqrt n＜\sqrt n-\sqrt {n-1}$

$解：当a_{1}=1时，a_{2}=\frac 1{1+1}=\frac 12，a_{3}=\frac 1{1+2}=\frac 13···a_n=\frac 1{n}$

$∴a_{1}a_{2}+a_{2}a_{3}+a_{3}a_{4}+···+a_{1999}a_{2000}$

$=1×\frac 12+\frac 12×\frac 13+\frac 13×\frac 14+···+\frac {1}{1999}×\frac {1}{2000}$

$=1-\frac 12+\frac 12-\frac 13+\frac 13-\frac 14+···+\frac {1}{1999}-\frac {1}{2000}$

$=1-\frac {1}{2000}$

$=\frac {1999}{2000}$

【解析】
（1）根据已知式子的规律，选取整数5，可得例子：$\sqrt{5+\frac{5}{24}}=\sqrt{\frac{125}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}$；
（2）先观察式子中整数、分子、分母的关系，提出猜想：$\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$（n为大于1的正整数），再进行证明：
$\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n^3-n+n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n^3}{n^2-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$，等式左右两边相等，故猜想成立。
【答案】
（1）$\sqrt{5+\frac{5}{24}}=\sqrt{\frac{125}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}$（答案不唯一）；
（2）猜想：$\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$（n为大于1的正整数），证明如上，猜想成立。
【知识点】
二次根式化简、规律探究、分式运算
【点评】
本题通过观察特例归纳二次根式的变形规律，再利用代数运算验证猜想，既考查了规律探究能力，又巩固了二次根式的化简运算，有助于培养归纳推理的数学思维。

【解析】
1. 比较各组根式大小：
$\sqrt{3}-\sqrt{2}＜\sqrt{2}-1$，$\sqrt{4}-\sqrt{3}＜\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$\sqrt{5}-\sqrt{4}＜\sqrt{4}-\sqrt{3}$
2. 提出猜想：$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}＜\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$（$n$是大于等于1的正整数）
3. 证明猜想：
对$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$分母有理化：
$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
对$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$分母有理化：
$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}=\frac{(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$
因为$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}＞\sqrt{n}+\sqrt{n-1}$，根据分子相同，分母越大分数越小，可得：
$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}＜\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$，即$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}＜\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$。
【答案】
$\sqrt{3}-\sqrt{2}＜\sqrt{2}-1$，$\sqrt{4}-\sqrt{3}＜\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$\sqrt{5}-\sqrt{4}＜\sqrt{4}-\sqrt{3}$；
猜想：$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}＜\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$（$n$是大于等于1的正整数），该猜想成立。
【知识点】
分母有理化，二次根式大小比较，不等式基本性质
【点评】
本题通过特殊实例归纳一般性猜想，再用分母有理化严谨证明，渗透了从特殊到一般的数学思想，掌握分母有理化是解决此类二次根式大小比较问题的核心方法。

【解析】
当$a_1=1$时，推导数列通项：
$a_2=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$，$a_3=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$，以此类推可得$a_n=\frac{1}{n}$。
计算求和式：
$a_1a_2 + a_2a_3 + a_3a_4 + ··· + a_{1999}a_{2000}$
$=1×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{4}+···+\frac{1}{1999}×\frac{1}{2000}$
利用裂项相消法，$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，则：
原式$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+···+\frac{1}{1999}-\frac{1}{2000}$
$=1-\frac{1}{2000}$
$=\frac{1999}{2000}$
【答案】
$\frac{1999}{2000}$
【知识点】
递推数列求通项、裂项相消法求和
【点评】
本题先通过递推关系归纳出数列通项公式，再利用裂项相消法简化求和，是数列典型题型，考察了归纳推理能力与裂项相消的运算技巧，需熟练掌握此类数列求和方法。