第102页 - 苏科版数学补充习题九年级上下册答案

$解：作AD⊥BC于点D$

$则∠BAD=30°，∠DAC=45°$

$设BD=x，则在Rt△ABD中，AD=\sqrt 3x，AB=2x$

$在Rt△ADC中，DC=\sqrt 3x，AC=\sqrt 6x$

$∴2x+\sqrt 6x=2+\sqrt 6$

$解得x=1$

$∴AB=2，BC=1+\sqrt 3，AC=\sqrt 6$

解：如图所示

$∠C=90°，∠CAD=60°，∠CAB=75°，AC=1$

$则∠B=∠DAB=15°，BD=AD=2，CD=\sqrt 3，BC=\sqrt 3+2$

$∴tan 75°=tan∠CAB=\frac {BC}{AC}=\sqrt 3+2$

$解：过点D作DF⊥BC，垂足为点F$

$∵AB⊥BC，点B在\odot O上$

$∴CB是\odot O的切线，B为切点$

$∵AD//BC，点A也在\odot O上$

$∴AD也是\odot O的切线，A为切点$

$∵CD也是\odot O的切线，且点E为切点$

$∴AD=DE=a，CE=BC=b$

$∴CD=a+b$

$∵DF⊥BC$

$∴CF=b-a，DF=AB=2$

$在Rt△DFC中，CD^2=DF^2+FC^2$

$(a+b)^2=(b-a)^2+2^2$

$∴ab=1$

【解析】
过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，
在$△ ABC$中，$∠ C=180^{\circ}-∠ A-∠ B=180^{\circ}-75^{\circ}-60^{\circ}=45^{\circ}$，
则$∠ BAD=90^{\circ}-∠ B=30^{\circ}$，$∠ DAC=90^{\circ}-∠ C=45^{\circ}$，
设$BD=x$，在$Rt△ ABD$中，根据含$30^{\circ}$角的直角三角形性质，得$AB=2x$，$AD=\sqrt{3}x$，
在$Rt△ ADC$中，$∠ DAC=45^{\circ}$，故$DC=AD=\sqrt{3}x$，$AC=\sqrt{2}· AD=\sqrt{6}x$，
已知$AB+AC=2+\sqrt{6}$，代入得$2x+\sqrt{6}x=2+\sqrt{6}$，
提取公因式得$x(2+\sqrt{6})=2+\sqrt{6}$，解得$x=1$，
因此$AB=2x=2$，$AC=\sqrt{6}x=\sqrt{6}$，$BC=BD+DC=x+\sqrt{3}x=1+\sqrt{3}$。
【答案】
$AB=2$，$AC=\sqrt{6}$，$BC=1+\sqrt{3}$
【知识点】
含特殊角的直角三角形性质，解直角三角形，方程思想
【点评】
本题通过作斜三角形的高将其转化为两个特殊直角三角形，利用特殊角的边长关系建立方程求解，体现了转化思想与方程思想的综合运用，是解斜三角形的典型方法。

【解析】
构造如图所示的直角三角形，∠C=90°，∠CAD=60°，∠CAB=75°，AC=1。
由角度计算可得∠B=∠DAB=15°，根据等角对等边得BD=AD=2；
在Rt△ACD中，利用特殊角的三角函数值得CD=√3，因此BC=CD+BD=√3+2；
根据锐角正切的定义，$tan 75°=tan∠CAB=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}+2}{1}=2+\sqrt{3}$。
【答案】
$2+\sqrt{3}$（或$\sqrt{3}+2$）
【知识点】
特殊角的三角函数值、等腰三角形判定、锐角三角函数定义
【点评】
本题通过构造含特殊角的直角三角形，将非特殊角75°转化为特殊角的组合，利用等腰三角形性质和特殊角的三角函数值求出相关边长，进而计算出tan75°的值，体现了转化思想在解三角函数问题中的应用。

【解析】
过点$D$作$DF⊥BC$，垂足为点$F$。
∵$AB⊥BC$，点$B$在$\odot O$上，
∴$CB$是$\odot O$的切线，$B$为切点。
∵$AD// BC$，$AB⊥BC$，点$A$在$\odot O$上，
∴$AD$是$\odot O$的切线，$A$为切点。
∵$CD$切$\odot O$于点$E$，根据切线长定理，
∴$AD=DE=a$，$CE=BC=b$，则$CD=a+b$。
∵$DF⊥BC$，$AD// BC$，$AB⊥BC$，
∴$CF=b-a$，$DF=AB=2$。
在$Rt△DFC$中，由勾股定理得：
$CD^2=DF^2+FC^2$，
即$(a+b)^2=(b-a)^2+2^2$，
展开化简得：$4ab=4$，
∴$ab=1$。
【答案】
$ab=1$
【知识点】
切线长定理、勾股定理、切线的判定
【点评】
本题考查切线的判定、切线长定理及勾股定理的综合运用，通过作辅助线构造直角三角形是解题关键，将线段关系转化为方程求解，体现了数形结合的思想。