第103页 - 苏科版数学补充习题九年级上下册答案

$解：由A(-2，0)、B(8，0)和正方形ABCD$

$得BC=10，C(8，10)、P(3，0)，PE=PA=5$

$∴OE=4，E(0，4)$

$∴CE=\sqrt {8^2+(10-4)^2}=10，CP=\sqrt {(8-3)^2+10^2}=5\sqrt 5$

$∴PE^2+CE^2=CP^2$

$∴∠CEP=90°，CE⊥PE$

$又PE是\odot P的半径$

$∴EC与\odot P相切$

$解：连接AO并延长交\odot O于点F，连接BC、BF、DF、AD$

$∵AF是直径$

$∴∠ADF=90°，∠ABF=90°，AB⊥BF$

$∵AB⊥CD$

$∴BF//CD$

$∴\widehat{BC}=\widehat{DF}$

$∴BC=DF$

$在Rt△AED、Rt△BCE、Rt△ADF中$

$AE^2+DE^2=AD^2，CE^2+BE^2=BC^2=DF^2，AD^2+DF^2=AF^2$

$∴AE^2+BE^2+CE^2+DE^2=AD^2+DF^2=AF^2$

$∵AF是直径$

$∴AF=2，AF^2=4$

$∴AE^2+BE^2+CE^2+DE^2=4$

【解析】
1. 由A(-2，0)、B(8，0)，可得AB=10，因为ABCD是正方形，所以BC=AB=10，C(8，10)；AB中点P的坐标为(3，0)，半圆P的半径PE=PA=5。
2. 在Rt△POE中，由勾股定理得$OE=\sqrt{PE^2-OP^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，故E(0，4)。
3. 计算线段长度：$CE=\sqrt{(8-0)^2+(10-4)^2}=10$，$CP=\sqrt{(8-3)^2+(10-0)^2}=5\sqrt{5}$。
4. 验证得$PE^2+CE^2=5^2+10^2=125$，$CP^2=(5\sqrt{5})^2=125$，即$PE^2+CE^2=CP^2$，根据勾股定理逆定理，∠CEP=90°，CE⊥PE。
5. 因为PE是⊙P的半径，且CE⊥PE，根据切线的判定定理，直线EC与⊙P相切。
【答案】
直线EC与⊙P相切
【知识点】
勾股定理逆定理；切线的判定；坐标与图形性质
【点评】
本题综合考查坐标与图形性质、勾股定理逆定理及切线的判定，解题关键是通过坐标计算线段长度，利用勾股定理逆定理证明直线与半径垂直，进而判定切线。

【解析】
连接AO并延长交$\odot O$于点F，连接BC、BF、DF、AD。
∵AF是直径，
∴$∠ ADF=90°$，$∠ ABF=90°$，即$AB⊥ BF$。
∵$AB⊥ CD$，
∴$BF// CD$，
∴$\widehat{BC}=\widehat{DF}$，故$BC=DF$。
在$Rt△ AED$中，$AE^2+DE^2=AD^2$；
在$Rt△ BCE$中，$CE^2+BE^2=BC^2=DF^2$；
在$Rt△ ADF$中，$AD^2+DF^2=AF^2$。
∴$AE^2+BE^2+CE^2+DE^2=AD^2+DF^2=AF^2$。
∵$\odot O$的半径为1，
∴AF=2，$AF^2=4$，
即$AE^2+BE^2+CE^2+DE^2=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
直径所对圆周角为直角，平行弦所对弧相等，勾股定理
【点评】
本题通过构造辅助直径，借助圆周角定理、平行弦的性质，将分散的线段平方和转化为直径的平方，巧妙运用转化思想解决圆中的线段计算问题，提升了对圆的性质与勾股定理综合应用的能力。