第46页 - 苏科版数学补充习题九年级上下册答案

$解：△ACD∽△DCE$

$∵AB是\odot O的直径$

$∴∠BDA=90°$

$∵AC是切线$

$∴∠OAC=90°$

$∴∠DAC=90°-∠OAD=∠OBD$

$∵OB=OD$

$∴∠OBD=∠ODB=∠EDC$

$∴∠DAC=∠EDC$

$又∵∠C=∠C$

$∴△ACD∽△DCE$

$解：(1)△ABE∽△ACD$

$∵AD · AB=AE · AC$

$∴\frac {AB}{AE}=\frac {AC}{AD}$

$又∵∠A=∠A$

$∴△ABE∽△ACD$

$(2)∵△ABE∽△ACD$

$∴∠B=∠C$

$又∵∠DFB=∠EFC$

$∴△FDB∽△FEC$

【解析】
△ACD∽△DCE，证明如下：
∵AB是$\odot O$的直径
∴∠BDA=90°（直径所对的圆周角是直角）
∵AC是$\odot O$的切线
∴∠OAC=90°（圆的切线垂直于过切点的半径）
∴∠DAC=90°-∠OAD=∠OBD（同角的余角相等）
∵OB=OD
∴∠OBD=∠ODB（等边对等角）
又
∵∠ODB=∠EDC（对顶角相等）
∴∠DAC=∠EDC
又
∵∠C=∠C（公共角）
∴△ACD∽△DCE（两角分别相等的两个三角形相似）
【答案】
△ACD与△DCE相似，即$\boldsymbol{△ACD∽△DCE}$
【知识点】
圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定
【点评】
本题需结合圆的相关性质与相似三角形判定定理求解，关键是通过直径、切线的性质推导角的等量关系，再利用公共角证明三角形相似，要熟练掌握圆的性质与相似三角形的判定方法。

【解析】
（1）$△ ABE$与$△ ACD$相似，理由如下：
$\because AD · AB = AE · AC$，
$\therefore \frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$，
又$\because ∠ A = ∠ A$，
$\therefore △ ABE ∽ △ ACD$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
（2）$△ FDB$与$△ FEC$相似，理由如下：
$\because △ ABE ∽ △ ACD$，
$\therefore ∠ B = ∠ C$，
又$\because ∠ DFB = ∠ EFC$（对顶角相等），
$\therefore △ FDB ∽ △ FEC$（两角对应相等的两个三角形相似）。
【答案】
（1）$△ ABE ∽ △ ACD$；
（2）$△ FDB ∽ △ FEC$。
【知识点】
相似三角形的判定，比例式与乘积式互化，对顶角相等
【点评】
本题考查相似三角形判定与性质的综合运用，解题需先通过乘积式转化为比例式，结合公共角证明第一组三角形相似，再利用相似的性质得到角相等，结合对顶角相等证明第二组三角形相似，需熟练掌握相似三角形的判定定理。