第45页 - 苏科版数学补充习题九年级上下册答案

C

B

C

解：$(1)△ADG∽△ACD，$$△CDG∽△CAD$

∵四边形$ABCD$为矩形

∴$∠ADC=90°$

∵$DG⊥AC$

∴$∠AGD=∠DGC=∠ADC=90°$

又$∠DAG=∠DAC，$$∠DCG=∠DCA$

∴$△ADG∽△ACD，$$△CDG∽△CAD$

$(2)$∵$△ADG∽△ACD，$$△CDG∽△CAD$

∴$△ADG∽△DCG$

∴$\frac {AG}{DG}=\frac {DG}{CG}$

∵$AG=6，$$CG=12$

∴$DG=6\sqrt 2$

∴$S_{矩形ABCD}=2S_{△ADC}=2×\frac 12×AC · DG$

$=2×\frac 12×(6+12)×6\sqrt 2=108\sqrt 2$

【解析】
1. 因为$DE // BC$，根据“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，可得$\boldsymbol{△ ADE ∽ △ ABC}$；
2. 由$DE // BC$得$∠ ADE = ∠ B$，又$∠ AGF = ∠ B$，故$∠ AGF = ∠ ADE$，且$∠ A$为公共角，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$\boldsymbol{△ AFG ∽ △ AED}$；
3. 因为$∠ AGF = ∠ B$，$∠ A$为公共角，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$\boldsymbol{△ AFG ∽ △ ACB}$。
综上，图中相似三角形共有3对。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、平行线的性质
【点评】
本题考查相似三角形的判定，需结合平行线的性质挖掘等角条件，准确识别所有相似三角形，避免遗漏对数。

【解析】
已知在$△ABC$中，$∠BAC=90^{\circ}$，$D$是$BC$的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，得$AD=CD=BD$，故$∠C=∠DAC$。
因为$AE⊥AD$，所以$∠DAE=90^{\circ}$，则$∠DAC+∠CAE=90^{\circ}$。
又$∠BAC=90^{\circ}$，即$∠BAE+∠CAE=90^{\circ}$，因此$∠DAC=∠BAE$，进而$∠C=∠BAE$。
在$△BAE$和$△ACE$中，$\begin{cases}∠E=∠E（公共角）\\∠BAE=∠C\end{cases}$，根据两角对应相等的两个三角形相似，可得$△BAE∽△ACE$，故选项B正确。
对其余选项分析：
选项A：$∠DAE=∠BAC=90^{\circ}$，但$∠ADE$与$∠B$无相等关系，无法证明$△AED∽△ACB$，故A错误；
选项C：$∠C$为公共角，但$∠CAE$与$∠ADC$无相等关系，无法证明$△AEC∽△DAC$，故C错误；
选项D：$∠E$为公共角，但$∠ABE$与$∠DAE$无相等关系，无法证明$△AEB∽△ADE$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，相似三角形判定，角的互余关系
【点评】
本题考查相似三角形的判定与直角三角形的性质，解题核心是通过角的互余推导等角，结合公共角完成相似三角形的证明，需熟练掌握相似三角形的判定定理与直角三角形的相关性质。

【解析】
因为 $ l_{1} // l_{2} $，根据平行线分线段成比例定理，在$△ BFD$中，$\frac{AG}{BD}=\frac{AF}{FB}=\frac{2}{5}$。
设 $ AG = 2k $，则 $ BD = 5k $。
由 $ BC:CD = 4:1 $，可得 $ CD = \frac{1}{4+1}BD = \frac{1}{5} × 5k = k $。
又因为 $ l_{1} // l_{2} $，所以$△ AEG ∼ △ CED$，根据相似三角形对应边成比例的性质，$\frac{AE}{EC}=\frac{AG}{CD}=\frac{2k}{k}=2:1$。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例；相似三角形的性质
【点评】
本题考查平行线分线段成比例定理与相似三角形性质的综合应用，通过设参数将线段比例转化为具体长度，简化计算，关键是找准平行线对应的成比例线段或相似三角形，建立所求线段与已知比例的联系。

【解析】
(1) $△ ADG ∽ △ ACD$，$△ CDG ∽ △ CAD$，理由如下：
∵四边形$ABCD$为矩形
∴$∠ ADC=90°$
∵$DG ⊥ AC$
∴$∠ AGD=∠ DGC=∠ ADC=90°$
又$∠ DAG=∠ DAC$，$∠ DCG=∠ DCA$
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ ADG ∽ △ ACD$，$△ CDG ∽ △ CAD$
(2) 由(1)知$△ ADG ∽ △ ACD$，$△ CDG ∽ △ CAD$，则$△ ADG ∽ △ DCG$
根据相似三角形的性质，得$\frac{AG}{DG}=\frac{DG}{CG}$
∵$AG = 6$，$CG = 12$
∴$DG^2=AG· CG=6×12=72$，解得$DG=6\sqrt{2}$
∵$AC=AG+CG=6+12=18$
矩形$ABCD$的面积$=2S_{△ ADC}=2×\frac{1}{2}× AC· DG=18×6\sqrt{2}=108\sqrt{2}$
【答案】
(1) $△ ADG$与$△ ACD$相似，$△ CDG$与$△ CAD$相似，理由见解析；
(2) $108\sqrt{2}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，矩形的性质
【点评】
本题通过矩形的直角和垂直条件找到等角，证明三角形相似，再利用相似三角形的性质求出线段长度，进而计算矩形面积，考查了相似三角形与矩形性质的综合运用，是相似三角形应用的典型题型。