$(1)$解：设框出的第一个数为$x，$因为月历上同一行相邻$ $两个数相差$1，$
则后面两个数分别为$x+1，x+2. $
根据题意，得$ x+(x+1)+(x+2)=54， $
解得$x=17， x+1=17+1=18， x+2=17+2=19， $
所以这$3$个数分别是$17，18，19.$
$(2)$解：能$.$设$“$十$''$字形框最中间的数为$y，$则上面的数为$y −7，$
下面的数为$y+7，$左边的数为$y−1，$右边的数为$y+1. $
根据题意，得$ (y−7)+(y−1)+y+(y+1)+(y+7)=80， $
解得$y=16，$
$y−7=16−7=9， y−1=16−1=15， y+1=16+1=17， y+7=16+7=23， $
所以这$5$个数分别是$9，15，16，17，23.$
(3)解：设框出的第一个数为m，则后两个数为别为m+1和m+2
下面两个数分别为m+1+7=m+8和m+8+7=m+15
由题意得，5个数的和为106
所以可得m+m+1+m+2+m+8+m+15=106，解得m=16
中间数为m+1=16+1=17
