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第112页

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$ ∠2$或$∠4$

$ ∠AOC$

$\angle 2+\angle BOE = 180^{\circ}$

$\angle 2$与$\angle BOE$

$129^\circ41'$

$44^\circ34'$

解：$(1)$因为$∠α$和$∠β$互为余角，

所以$∠α+∠β=90°。$

又因为∠α是∠β的两倍，即$∠α=2∠β。$

$ $将$∠α=2∠β$代入$∠α+∠β=90°，$得$2∠β+∠β=90°，$

$3∠β=90°，$

$∠β=30°。$

$ $所以$∠α=2×30°=60°。$

$ (2)$因为$∠α$和$∠β$互为补角，

所以$∠α+∠β=180°，$即$∠α=180°-∠β。$

$ $又因为$∠β$的一半比$∠α$小$30°，$

所以$∠α - \frac {1}{2}∠β=30°。$

$ $将$∠α=180°-∠β$代入$∠α - \frac {1}{2}∠β=30°，$得$180°-∠β - \frac {1}{2}∠β=30°，$

$180° - \frac {3}{2}∠β=30°，$

$- \frac {3}{2}∠β=30° - 180°，$

$- \frac {3}{2}∠β=-150°，$

$∠β=100°。$

$\angle COD$、$\angle AOE$

解：$(2)$设$∠AOD=x，$

则$∠AOE=90^\circ -x，$$∠BOD=180^\circ -x。$

因为$∠BOD=\frac {5}{2}∠AOE，$

所以$180^\circ -x=\frac {5}{2}(90^\circ -x)。$

解得$x=30^\circ ，$即$∠AOD=30^\circ 。$

解：$(1)$设$∠BOD=x，$则$∠BOC=2x，$

∵$∠BOC$与$∠BOD$互为余角，

∴$∠BOC+∠BOD=90°，$即$2x+x=90°，$

$ $解得$x=30°，$

∴$∠BOC=2x=60°.$

$ (2)$由图可知，$∠AOB$是平角，

∴$∠AOB=180°，$

∵$∠BOC=60°，$$∠BOD=30°，$

∴$∠COE+90°=3∠COE$

∴$∠COE=45°$

解：$(1)$因为$∠BOC$与$∠BOD$互为余角，

所以$∠BOC+∠BOD=90°。$

$ $设$∠BOD=x，$则$∠BOC=2x，$可得$2x+x=90°，$

解得$x=30°，$

所以$∠BOC=2×30°=60°。$

$ (2)$因为$∠AOC$与$∠BOC$互为补角，$∠BOC=60°，$

所以$∠AOC=180°-60°=120°。$

$ $由$(1)$知$∠BOD=30°，$

所以$∠COD=∠BOC+∠BOD=60°+30°=90°。$

情况一：$OE$在$∠COD$内部

$ $设$∠COE=y，$则$∠DOE=3y，$

因为$∠COD=90°，$

所以$y+3y=90°，$解得$y=22.5°。$

$ ∠BOE=∠BOC-∠COE=60°-22.5°=37.5°。$

情况二：$OE$在$∠AOC$内部

$ $设$∠COE=z，$则$∠DOE=3z，$

因为$∠COD=90°，$

所以$∠DOE-∠COE=∠COD，$

即$3z-z=90°，$解得$z=45°。$

$ ∠BOE=∠BOC+∠COE=60°+45°=105°。$

综上，$∠BOE$的度数为$37.5°$或$105°。$

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