第54页 - 江苏版实验班提优训练数学八年级上下册答案

解:(2)△BEF是等边三角形.

理由如下，

∵△BDE≌△BCF，∴BE=BF，∠CBF=∠DBE.

∵∠CBF+∠DBF=60°，

∴∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠CBF+∠DBF=60°，

∴△BEF是等边三角形.

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$解:在菱形ABCD中，∠ABC=60°，$

$∴AC=AB=2.\ $

$∴在Rt△AOD中，$

$OD= \sqrt{AD²-AO²}=\sqrt {3} ，\ $

$∴CE=\sqrt {3} .在Rt△ACE中，$

$AE= \sqrt{AC²+CE²}=\sqrt {7} .$

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$解:AC=CP+2CH.理由如下:$

$ ∵AC=CD，CD=CQ+QD，$

$∴AC=CQ+QD.$

$ ∵CP=DQ，∴AC=CQ+PC.$

$ 又∠CHQ=90°，∠QCH=60°，$

$ ∴∠CQH=30°.$

$∴CQ=2CH.$

$ ∴AC=CP+2CH.$

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$解:∵四边形ABCD是菱形，$

$ ∴∠B+∠BAD=180°.$

$ ∵∠B=60°，∴∠BAD=120°.$

$ 又∠AEB=90°，∠B=60°，∴∠BAE=30°.$

$ 由(1)知△ABE≌△ADF，$

$∴∠BAE=∠DAF=30°.$

$∴∠EAF=120°-30°-30°=60°.$

$又AE=AF，$

$ ∴△AEF是等边三角形.$

$∴∠AEF=60°.$

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$证明:∵菱形ABCD的边长为2，BD=2，\ $

$∴BC=BD=CD=AD=AB=2，\ $

$∴∠C=∠BDE=60°.\ $

$∵AE+DE=AD=2，AE+CF=2，$

$∴DE=CF.\ $

$在△BDE和△BCF中，\ $

$\begin{cases}{\ BD=BC,}\ \\ {\ ∠BDE=∠C,\ } \\{DE=CF,}\end{cases}\ $

$∴△BDE≌△BCF(SAS).$

$证明:在菱形ABCD中，OC=\frac{1}{2}AC.$

$∴DE=OC.\ $

$又DE//AC，$

$∴四边形OCED是平行四边形.\ $

$∵AC⊥BD，$

$∴平行四边形OCED是矩形.\ $

$∴OE=CD.$

$解:如图，作PE//CD交AC于点E，连接AQ，则 △CPE是等边三角形，$

$∠EPQ=∠CQP.\ $

$又∠APE+∠EPQ=60°，$

$∠CQP+∠CPQ=60°，$

$∴∠APE=∠CPQ.\ $

$易证∠AEP=∠QCP=120°，PE=PC，\ $

$∴△APE≌△QPC(ASA).$

$∴AE=QC，AP=PQ.\ $

$∴△APQ是等边三角形.$

$∴∠2+∠3=60°，AP=AQ.\ $

$∵∠1+∠2=60°，$

$∴△ACD是等边三角形，∠1=∠3.$

$∴AC=AD.$

$∴△AQD≌△APC(SAS).\ $

$∴CP=DQ.$

$证明:∵四边形ABCD是菱形，\ $

$∴AB=AD，∠B=∠D.\ $

$又AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，\ $

$∴∠AEB=∠AFD=90°.\ $

$在△ABE与△ADF中，\ $

$\begin{cases}{ ∠B=∠D, }\ \\ {\ ∠AEB=∠AFD,} \\{AB=AD.}\end{cases}\ $

$∴△ABE≌△ADF(AAS).$

$∴AE=AF. $