电子课本网 › 第116页

第116页

信息发布者：

 （1）解：在 $\triangle BDC$ 中，因为 $BD = BC，$$\angle ABC = 80^\circ，$所以 $\angle BDC = \angle BCD = \frac{180^\circ - \angle DBC}{2} = \frac{180^\circ - 80^\circ}{2} = 50^\circ。$在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A = 40^\circ，$$\angle ABC = 80^\circ，$所以 $\angle ACB = 180^\circ - 40^\circ - 80^\circ = 60^\circ。$因为 $CE = BC，$所以 $\triangle BCE$ 中，$BC = CE，$$\angle BCE = 60^\circ，$因此 $\triangle BCE$ 是等边三角形，所以 $\angle BEC = 60^\circ。$因为 $\angle BEC$ 是 $\triangle ABE$ 的外角，所以 $\angle ABE = \angle BEC - \angle A = 60^\circ - 40^\circ = 20^\circ。$

 （2）解：$\angle BEC + \angle BDC = 110^\circ。$理由如下：设 $\angle ABC = \alpha^\circ，$在 $\triangle BDC$ 中，$BD = BC，$所以 $\angle BDC = \frac{180^\circ - \alpha}{2}。$在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 180^\circ - 40^\circ - \alpha = (140 - \alpha)^\circ。$在 $\triangle BEC$ 中，$CE = BC，$所以 $\angle BEC = \frac{180^\circ - \angle BCE}{2} = \frac{180^\circ - (140^\circ - \alpha)}{2} = \frac{40^\circ + \alpha}{2}。$因此 $\angle BEC + \angle BDC = \frac{40^\circ + \alpha}{2} + \frac{180^\circ - \alpha}{2} = \frac{220^\circ}{2} = 110^\circ。$

 （1）解：因为 $BM$、$CM$ 分别平分 $\angle ABC$、$\angle ACB，$所以 $\angle MBC = \frac{1}{2}\angle ABC，$$\angle MCB = \frac{1}{2}\angle ACB。$在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A = 70^\circ，$所以 $\angle ABC + \angle ACB = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ，$因此 $\angle MBC + \angle MCB = \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB) = 55^\circ。$在 $\triangle BMC$ 中，$\angle BMC = 180^\circ - (\angle MBC + \angle MCB) = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ。$

 （2）解：因为 $DE // BC，$所以 $\angle DMB = \angle MBC$（内错角相等）。又因为 $\angle MBC = \angle DBM$（$BM$ 平分 $\angle ABC$），所以 $\angle DMB = \angle DBM，$因此 $DM = DB$（等角对等边）。同理，$\angle EMC = \angle ECM，$所以 $EM = EC。$因此 $\triangle ADE$ 的周长 $= AD + DE + AE = AD + DM + EM + AE = AD + DB + EC + AE = AB + AC。$因为 $\triangle ABC$ 的周长为 $m，$$BC = a，$所以 $AB + AC = m - a，$即 $\triangle ADE$ 的周长为 $m - a。$

$ （1）如图所示$

 （2）解：$\triangle BDE$ 是等腰三角形，$\angle ABC = 22.5^\circ。$理由如下：因为 $\triangle ADE$ 是 $\triangle ABC$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90^\circ$ 得到的，所以 $\triangle ADE \cong \triangle ABC，$因此 $AB = AD，$$BC = DE，$$\angle ABC = \angle ADE，$$\angle BAD = 90^\circ，$所以 $\triangle ABD$ 是等腰直角三角形，$\angle ABD = 45^\circ。$因为 $\angle ADE + \angle DEA = 90^\circ，$所以 $\angle ABC + \angle DEA = 90^\circ，$即 $BF \perp DE$（$F$ 为 $BC$ 延长线与 $DE$ 的交点）。因为 $BC = 2EF，$$DE = BC，$所以 $DE = 2EF，$即 $F$ 为 $DE$ 中点，因此 $BF$ 垂直平分 $DE，$所以 $BD = BE$（垂直平分线上的点到两端距离相等），即 $\triangle BDE$ 是等腰三角形。在 $\triangle BDE$ 中，$BD = BE，$$\angle DBE = 45^\circ，$所以 $\angle BDE = \frac{180^\circ - 45^\circ}{2} = 67.5^\circ。$因为 $\angle ADB = 45^\circ，$所以 $\angle ADE = \angle BDE - \angle ADB = 67.5^\circ - 45^\circ = 22.5^\circ，$因此 $\angle ABC = \angle ADE = 22.5^\circ。$