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 $\triangle ABD$ 是等边三角形。证明：因为 $AE$ 的垂直平分线交 $BE$ 于点 $C，$所以 $CA = CE，$因此 $\angle CAE = \angle E = 15^\circ。$所以 $\angle ACB = \angle CAE + \angle E = 15^\circ + 15^\circ = 30^\circ。$在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle ABC = 90^\circ，$所以 $\angle BAC = 90^\circ - \angle ACB = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ。$因为在 $Rt\triangle ABC$ 中，$D$ 为 $AC$ 的中点，所以 $DA = DB$（直角三角形斜边中线等于斜边一半），因此 $\triangle ABD$ 是等边三角形（有一个角是 $60^\circ$ 的等腰三角形是等边三角形）。

 证明：在 $\triangle APD$ 中，根据三角形三边关系，$AD + AP ＞ PD。$因为 $PQ = AD，$所以 $PQ + AP ＞ PD，$即 $AQ ＞ PD。$因为点 $Q$ 在 $\triangle ABC$ 的边 $AB$ 上，且 $\triangle ABC$ 是等边三角形，所以 $\angle A = 60^\circ，$$\angle ACQ ＜ 60^\circ$（点 $Q$ 不与 $A$、$B$ 重合）。在 $\triangle AQC$ 中，因为 $\angle A = 60^\circ ＞ \angle ACQ，$所以 $CQ ＞ AQ$（大角对大边），因此 $CQ ＞ PD。$

 解：因为 $AX \perp AC，$$\angle C = 90^\circ，$所以 $\angle C = \angle QAP = 90^\circ，$即点 $C$ 与点 $A$ 是对应点。当 $\triangle ABC \cong \triangle APQ$ 时，分两种情况：

 ① 若 $\triangle CAB \cong \triangle APQ，$则 $AP = CA = 10，$此时点 $P$ 与点 $C$ 重合；

 ② 若 $\triangle CAB \cong \triangle AQP，$则 $AP = CB = 5，$此时点 $P$ 为 $AC$ 中点（因为 $AC = 10，$所以 $AP = 5$ 时 $P$ 为中点）。

 综上，点 $P$ 与点 $C$ 重合或为 $AC$ 中点。