第114页 - 同步练习八年级数学苏科版江苏凤凰科学技术出版社

3＜x＜13

13

6

4

30

4

9

 （1）证明：因为 $AB // DE，$所以 $\angle B= \angle D。$同理，因为 $AC // EF，$所以 $\angle ACB = \angle DFE。$又因为 $BF = DC，$所以 $BF + FC = DC + FC，$即 $BC = DF。$在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle EDF$ 中，$\begin{cases} \angle B = \angle D \\ \angle ACB = \angle DFE \\ BC = DF \end{cases}，$所以 $\triangle ABC \cong \triangle EDF$（AAS）。

 （2）解：作 $EP \perp BD，$垂足为点 $P。$因为 $\triangle ABC \cong \triangle EDF，$所以 $EF = AC = 6。$由（1）知 $\angle ACB = \angle DFE，$又 $\angle ACB = 30^\circ，$所以 $\angle DFE = 30^\circ。$在 $Rt\triangle FEP$ 中，$\angle DFE = 30^\circ，$所以 $EP = \frac{1}{2}EF = \frac{1}{2} \times 6 = 3，$即点 $E$ 到 $BD$ 的距离为 $3。$

【答案】：
13

【解析】：

∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE。
∵BC=7，AC=6，
∴△AEC的周长=AE+EC+AC=BE+EC+AC=BC+AC=7+6=13。
13

【答案】：
6

【解析】：
在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则∠ABC=60°。
BD是∠ABC的角平分线，所以∠CBD=∠ABD=30°。
在Rt△BCD中，∠CBD=30°，BD=4，
则CD=4×$\frac{1}{2}$=2，
BC=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$。
在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2$\sqrt{3}$，
则AB=2BC=4$\sqrt{3}$，
AC=$\sqrt{AB^2 - BC^2}$=$\sqrt{(4\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{3})^2}$=$\sqrt{48 - 12}$=$\sqrt{36}$=6。
6

【答案】：
4

【解析】：

∵AD是△ABC的中线，△ABC的面积是16
∴S_△ABD = $\frac{1}{2}$S_△ABC = 8
∵E是AD的中点
∴S_△EBD = $\frac{1}{2}$S_△ABD = 4
设点E到BC的距离是h
∵BC=4，D是BC中点
∴BD=2
∵S_△EBD = $\frac{1}{2}$×BD×h
∴4 = $\frac{1}{2}$×2×h
解得h=4
4

【答案】：
30

【解析】：
过点D作DE⊥AB交BA延长线于点E。
∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=4。
S_△BCD=$\frac{1}{2}$×BC×CD=$\frac{1}{2}$×9×4=18。
S_△ABD=$\frac{1}{2}$×AB×DE=$\frac{1}{2}$×6×4=12。
S_{四边形ABCD}=S_△BCD+S_△ABD=18+12=30。
30

【答案】：
9

【解析】：
作点A关于BC的对称点A'，连接A'D，A'B。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=9，
则∠BAC=60°，AC=BC·tan30°=9×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=3$\sqrt{3}$，
AB=2AC=6$\sqrt{3}$。
因为点A与A'关于BC对称，
所以A'C=AC=3$\sqrt{3}$，∠A'CB=∠ACB=90°，
则∠A'CB+∠ACB=180°，即A、C、A'三点共线，AA'=2AC=6$\sqrt{3}$。
AP+PD=A'P+PD≥A'D（当且仅当A'、P、D三点共线时取等号）。
要使AP+PD最小，需A'D最小，此时A'D⊥AB。
在Rt△AA'D中，∠A'AD=60°，
A'D=AA'·sin60°=6$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=9。
故AP+PD的最小值是9。