$ (-2^{2009},-2^{2010}) $
【答案】：
A
【解析】：
解：正比例函数$y = \frac{1}{3}x$，其中$k=\frac{1}{3}＞0$，其图象经过第一、三象限，且过原点。观察选项，A选项符合。
A
【答案】：
$ y=-\dfrac{3}{2}x $
【解析】：
设正比例函数表达式为$y=kx$（$k\neq0$）。
因为函数图象经过点$(-2,3)$，所以将$x=-2$，$y=3$代入表达式得：$3 = k×(-2)$。
解得$k=-\dfrac{3}{2}$。
故这个正比例函数的表达式为$y=-\dfrac{3}{2}x$。
【答案】：
$ \dfrac{4}{3} $
【解析】：
由图可知，正比例函数$y = kx$的图象经过点$(3, 4)$。
将$x = 3$，$y = 4$代入$y = kx$，得$4 = 3k$。
解得$k=\dfrac{4}{3}$。
$\dfrac{4}{3}$
【答案】：
A
【解析】：
∵点A(2,m)和点B(n,-6)关于x轴对称，
∴n=2，m=6，即点A(2,6)。
设正比例函数表达式为y=kx(k≠0)，
将点A(2,6)代入得6=2k，
解得k=3，
∴正比例函数表达式为y=3x。
A
【答案】：
A
【解析】：
由题意得$\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=k$，且$a,b,c＞0$。
则$a = k(b + c)$，$b = k(c + a)$，$c = k(a + b)$。
三式相加：$a + b + c = k(2a + 2b + 2c)$。
因为$a,b,c＞0$，所以$a + b + c \neq 0$，两边同除以$a + b + c$得$1 = 2k$，即$k=\frac{1}{2}$。
所以正比例函数为$y = \frac{1}{2}x$。
当$x = 1$时，$y=\frac{1}{2}$，故点$(1,\frac{1}{2})$在该函数图象上。
A
【答案】：
C
【解析】：
设正比例函数解析式为$y=kx(k\neq0)$。
因为函数图象经过点$A(-2,m)$，所以$m=-2k$；经过点$B(n,3)$，所以$3=kn$，即$n=\frac{3}{k}$。
由于$A$、$B$是不同象限的两点，所以$A$、$B$的横纵坐标符号组合不同。
若$k＞0$，则$m=-2k＜0$，$n=\frac{3}{k}＞0$，此时$A(-2,m)$在第三象限，$B(n,3)$在第一象限，符合不同象限。
若$k＜0$，则$m=-2k＞0$，$n=\frac{3}{k}＜0$，此时$A(-2,m)$在第二象限，$B(n,3)$在第二象限，不符合不同象限。
综上，$m＜0$，$n＞0$。
C
【答案】：
＞
【解析】：
因为$y=(k - 1)x^{|k|}$是正比例函数，所以$|k|=1$且$k - 1\neq0$。解得$k=-1$，函数解析式为$y=-2x$。当$x=-2$时，$y_1=-2×(-2)=4$；当$x=1$时，$y_2=-2×1=-2$。因为$4 ＞ -2$，所以$y_1 ＞ y_2$。
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【答案】：
(16,32),$ (-2^{2009},-2^{2010}) $
【解析】：
$A_1(1,2)$，$A_2(-2,2)$，$A_3(-2,-4)$，$A_4(4,-4)$，$A_5(4,8)$，$A_6(-8,8)$，$A_7(-8,-16)$，$A_8(16,-16)$，$A_9(16,32)$；
观察规律：当$n=4k+1$（$k$为自然数）时，$A_n(2^{2k},2^{2k+1})$；
$2019=4×504+3$，$A_{2019}(-2^{2×504+1},-2^{2×504+2})=(-2^{1009},-2^{1010})$
$(16,32)$，$(-2^{1009},-2^{1010})$
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