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 （1）当$0 \leq x \leq 200$时，根据“电费=单价×用电量”，可得$y = 0.55x。$

 当$x ＞ 200$时，前$200{kW·h}$的电费为$0.55×200$元，超过$200{kW·h}$

的部分为$(x - 200){kW·h}，$这部分电费为$0.7(x - 200)$元，所以总电费

$y = 0.55×200 + 0.7(x - 200)，$化简可得$y = 110 + 0.7x - 140 = 0.7x - 30。$

 （2）因为$0.55×200 = 110$元，小明家5月份电费$117$元超过$110$元，

所以用电量超过$200{kW·h}。$将$y = 117$代入$y = 0.7x - 30，$得$117 = 0.7x - 30，$解方程可得$0.7x = 147，$$x = 210。$

 答：（1）当$0 \leq x \leq 200$时，$y = 0.55x；$当$x ＞ 200$时，$y = 0.7x - 30。$

（2）小明家这个月用电$210{kW·h}。$

 (1)设$y_1 = k_1(x - 1)，$$y_2 = k_2x，$则$y = k_1(x - 1) + k_2x。$根据题意，当$x = 2$时，$y = 4，$可得$k_1(2 - 1) + 2k_2 = 4，$即$k_1 + 2k_2 = 4；$当$x = -1$时，$y = -5，$可得$k_1(-1 - 1) + (-1)k_2 = -5，$即$-2k_1 - k_2 = -5。$联立方程组$\begin{cases}k_1 + 2k_2 = 4 \\ -2k_1 - k_2 = -5\end{cases}，$解得$\begin{cases}k_1 = 2 \\ k_2 = 1\end{cases}。$所以$y = 2(x - 1) + x = 3x - 2。$

 (2)把$x = -5$代入$y = 3x - 2$中，得$y = 3\times(-5) - 2 = -17。$

 (3)因为$y ＞ 0，$所以$3x - 2 ＞ 0，$解得$x ＞ \frac{2}{3}。$

 解：分两种情况讨论：

 情况一：一次函数单调递增（$k ＞ 0$）

 此时，当$x=-1$时，$y=-1；$当$x=5$时，$y=11。$

 代入$y=kx+b$得：

 $\begin{cases}-k + b = -1 \\5k + b = 11\end{cases}$

 解得：

 $\begin{cases}k = 2 \\b = 1\end{cases}$

 函数表达式为$y=2x+1。$

 情况二：一次函数单调递减（$k ＜ 0$）

 此时，当$x=-1$时，$y=11；$当$x=5$时，$y=-1。$

 代入$y=kx+b$得：

 $\begin{cases}-k + b = 11 \\5k + b = -1\end{cases}$

 解得：

 $\begin{cases}k = -2 \\b = 9\end{cases}$

 函数表达式为$y=-2x+9。$

 综上，一次函数表达式为$y=2x+1$或$y=-2x+9。$