第87页 - 同步练习八年级数学苏科版江苏凤凰科学技术出版社

二

 函数$y = \frac{2x - 4}{4}$是一次函数。

 首先对函数进行化简：

 $\begin{aligned}y&=\frac{2x - 4}{4}\\&=\frac{2x}{4} - \frac{4}{4}\\&=\frac{1}{2}x - 1\end{aligned}$

 一次函数的一般形式为$y = kx + b$（其中$k$、$b$为常数，且$k \neq 0$）。

 在化简后的函数$y = \frac{1}{2}x - 1$中，$k = \frac{1}{2}，$$b = -1，$且$k = \frac{1}{2} \neq 0，$符合一次函数的定义。

 所以，该函数是一次函数，其中$k = \frac{1}{2}，$$b = -1。$

(1)

 ∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，

 ∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，

 ∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)。

 在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-x，

 ∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$(180°-x)。

 在△PBC中，∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)，

 ∴y=180°-$\frac{1}{2}$(180°-x)=90°+$\frac{x}{2}。$

 自变量x的取值范围为0°＜x＜180°。

 (2) 当∠A=60°时，即x=60°，

 代入y=90°+$\frac{x}{2}，$得y=90°+$\frac{60°}{2}$=120°，

 ∴∠P的度数为120°。

 (3) 当∠P=125°时，即y=125°，

 代入y=90°+$\frac{x}{2}，$得125°=90°+$\frac{x}{2}，$

 解得x=70°，

 ∴∠A的度数为70°。

 ∵$y + a$与$x - b$成正比例，设比例系数为$k(k \neq 0)，$则$y + a = k(x - b)，$整理得$y = kx - kb - a。$

 ∵$k(k \neq 0)，$$k，$$a，$$b$都是常数，

 ∴$y$是$x$的一次函数。

 根据点$P$在正方形边上的不同位置，分情况讨论以$A，$$P，$$D$为顶点的三角形面积$y$与路程$x$的关系：

 1. 当点$P$在$AD$上运动（$0 \leq x \leq 4$）时，$A，$$P，$$D$三点共线，不能组成三角形，此时$y = 0。$

 2. 当点$P$在$CD$上运动（$4 ＜ x \leq 8$）时，$PD = x - 4，$以$AD$为底（$AD = 4$），$PD$为高，三角形面积$y=\frac{1}{2} \times 4 \times (x - 4)=2(x - 4)，$即$y = 2x - 8。$

 3. 当点$P$在$BC$上运动（$8 ＜ x \leq 12$）时，点$P$到$AD$的距离为正方形的边长$4，$三角形面积$y=\frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8。$

 4. 当点$P$在$AB$上运动（$12 ＜ x ＜ 16$）时，$AP = 16 - x，$以$AD$为底（$AD = 4$），$AP$为高，三角形面积$y=\frac{1}{2} \times 4 \times (16 - x)=2(16 - x)，$即$y = 32 - 2x。$

 5. 当$x = 16$时，点$P$回到点$A，$$A，$$P，$$D$三点共线，不能组成三角形，此时$y = 0。$

 综上，$y$关于$x$的函数表达式为：

 $y=\begin{cases} 0 & (0 \leq x \leq 4 \text{ 或 } x = 16) \\2x - 8 & (4 ＜ x \leq 8) \\8 & (8 ＜ x \leq 12) \\32 - 2x & (12 ＜ x ＜ 16)\end{cases}$

【答案】：
当点P在AD上运动(0≤x≤4)时,以A,P,D三点为顶点不能组成三角形;当点P在CD上运动(4＜x≤8)时,以A,P,D三点为顶点能组成三角形,且其面积y=$\frac{1}{2}$×4×(x-4)=2(x-4),即y=2x-8;当点P在BC上运动(8＜x≤12)时,以A,P,D三点为顶点能组成三角形,且其面积y=$\frac{1}{2}$×4×4=8;当点P在AB上运动(12＜x＜16)时,以A,P,D三点为顶点能组成三角形,且其面积y=$\frac{1}{2}$×4×(16-x)=2(16-x),即y=32-2x;当x=16时,点P恰好回到点A处,此时以A,P,D三点为顶点不能组成三角形

【解析】：
当点P在AD上运动（$0 \leq x \leq 4$）时，以A，P，D三点为顶点不能组成三角形；
当点P在CD上运动（$4 ＜ x \leq 8$）时，$y = 2x - 8$；
当点P在BC上运动（$8 ＜ x \leq 12$）时，$y = 8$；
当点P在AB上运动（$12 ＜ x ＜ 16$）时，$y = 32 - 2x$；
当$x = 16$时，以A，P，D三点为顶点不能组成三角形。