第65页 - 同步练习八年级数学苏科版江苏凤凰科学技术出版社

$\frac{5}{2}$

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 过点$ B $作$ BD \perp AC ，$垂足为$ D ，$则$ \angle BDA = \angle BDC = 90^\circ 。$设$ AD = x ，$则$ CD = 12 - x 。$

 在$ \text{Rt}\triangle ABD $和$ \text{Rt}\triangle CBD $中，由勾股定理，得$ BD^2 = AB^2 - AD^2 = BC^2 - CD^2 ，$即$ 11^2 - x^2 = 7^2 - (12 - x)^2 。$

 展开方程：$ 121 - x^2 = 49 - (144 - 24x + x^2) $

 化简得：$ 121 - x^2 = 49 - 144 + 24x - x^2 $

 移项合并同类项：$ 121 - 49 + 144 = 24x $

 计算得：$ 216 = 24x ，$解得$ x = 9 $

 所以$ AD = 9 $

 则$ BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{11^2 - 9^2} = \sqrt{121 - 81} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} $

 因此$ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AC \cdot BD = \frac{1}{2} \times 12 \times 2\sqrt{10} = 12\sqrt{10} $

 即$ \triangle ABC $的面积为$ 12\sqrt{10} $

 （1）证明：

 ∵ $AB = AC，$$P$ 是边 $BC$ 的中点，

 ∴ $AP \perp BC，$$BP = PC。$

 在 $Rt\triangle ABP$ 中，由勾股定理得：

 $AB^2 = AP^2 + BP^2，$

 ∴ $AB^2 - AP^2 = BP^2。$

又

 ∵ $BP = PC，$

 ∴ $BP \cdot CP = BP^2，$

 ∴ $BP \cdot CP = AB^2 - AP^2。$

 （2）结论成立。证明如下：

 过点 $A$ 作 $AM \perp BC，$垂足为 $M，$

 ∵ $AB = AC，$

 ∴ $BM = CM。$

 在 $Rt\triangle ABM$ 和 $Rt\triangle APM$ 中，由勾股定理得：

 $AB^2 = AM^2 + BM^2，$$AP^2 = AM^2 + MP^2，$

 ∴ $AB^2 - AP^2 = BM^2 - MP^2。$

 由平方差公式得：

 $BM^2 - MP^2 = (BM + MP)(BM - MP)。$

 ∵ $BM = CM，$

 ∴ $BM + MP = CM + PM = CP，$$BM - MP = BP，$

 ∴ $AB^2 - AP^2 = BP \cdot CP。$

$1 + x^{2}$

$1+(1 - x)^{2}$

AP

DP

$解：(2) 作点 A 关于直线 BC 的对称点 A',$

$连接 PA',连接 DA'交 BC 于点 P',$

$如图.由点 A,A'关于直线 BC 对称可得,AP=A'P,$

$∴ AP+DP=A'P+DP.$

$根据两点之间线段最短可知,当点 P 与点 P'重合时,$

$AP+DP=A'D,此时 AP+DP 最小.$

$∵ A'B=AB=1,∴ AA'=2,$

$∴A'D=\sqrt{AA'^{2}+AD^{2}}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}.$

$∴ 当 0＜x＜1 时,\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+(1-x)^{2}}的最小值为\sqrt{5}$

【答案】：
$\frac{5}{2}$

【解析】：
以点$A$为原点，$AB$所在直线为$x$轴，$AD$所在直线为$y$轴建立平面直角坐标系。
因为正方形$ABCD$的面积为$16$，所以边长为$4$，则$A(0,0)$，$B(4,0)$，$CD$边所在直线为$y=4$。
设点$P(x,y)$，点$P$到$CD$的距离为$d$，则$4 - y = d$，即$y = 4 - d$。
点$P$到$A$，$B$的距离都是$d$，所以$\sqrt{x^2 + y^2} = d$，$\sqrt{(x - 4)^2 + y^2} = d$。
联立得$\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(x - 4)^2 + y^2}$，两边平方化简得$x = 2$。
将$x = 2$，$y = 4 - d$代入$\sqrt{x^2 + y^2} = d$，得$\sqrt{2^2 + (4 - d)^2} = d$，两边平方：$4 + (4 - d)^2 = d^2$，展开得$4 + 16 - 8d + d^2 = d^2$，解得$d = \frac{5}{2}$。
$\frac{5}{2}$