1. 求$\angle ECD$的度数：
因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle ACB = 45^{\circ}$。
由于$BD$平分$\angle ABC$，则$\angle ABD=\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC = 22.5^{\circ}$。
因为$CE\perp BD$，$\angle BDC=\angle ADB$（对顶角相等），在$\triangle ABD$中，$\angle ADB = 180^{\circ}-\angle ABD-\angle BAD=180^{\circ}-22.5^{\circ}-90^{\circ}=67.5^{\circ}$，所以$\angle EDC = 67.5^{\circ}$。
在$\triangle EDC$中，$\angle E = 90^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，$\angle ECD=180^{\circ}-\angle E - \angle EDC$，即$\angle ECD=180^{\circ}-90^{\circ}-67.5^{\circ}=22.5^{\circ}$。
2. 探究$BD$与$EC$的数量关系：
延长$CE$交$BA$的延长线于点$F$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，$CE\perp BD$，在$\triangle BEF$和$\triangle BEC$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle FBE=\angle CBE\\ BE = BE\\ \angle BEF=\angle BEC = 90^{\circ}\end{array}\right.$，所以$\triangle BEF\cong\triangle BEC(ASA)$，则$CE = FE=\frac{1}{2}CF$。
因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，$\angle BEF = 90^{\circ}$，$\angle ADB=\angle EDC$，所以$\angle ABD=\angle ACF$（等角的余角相等）。
在$\triangle ABD$和$\triangle ACF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle ABD=\angle ACF\\ AB = AC\\ \angle BAD=\angle CAF = 90^{\circ}\end{array}\right.$，所以$\triangle ABD\cong\triangle ACF(ASA)$，则$BD = CF$。
又因为$CE=\frac{1}{2}CF$，所以$BD = 2EC$。
综上，$\angle ECD = 22.5^{\circ}$，$BD$与$EC$之间的数量关系是$BD = 2EC$。
