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 证明：

 ∵ $AB = AC，$$AD$ 是边 $BC$ 上的中线，

 ∴ $AD \perp BC，$$\angle BAD = \angle CAD = \frac{1}{2}\angle BAC$（等腰三角形三线合一）。

 ∵ $AD \perp BC，$

 ∴ $\angle CAD + \angle C = 90^\circ$（直角三角形两锐角互余）。

 ∵ $BE \perp AC，$

 ∴ $\angle CBE + \angle C = 90^\circ$（直角三角形两锐角互余）。

 ∴ $\angle CBE = \angle CAD$（同角的余角相等）。

又

 ∵ $\angle CAD = \frac{1}{2}\angle BAC，$

 ∴ $\angle CBE = \frac{1}{2}\angle BAC。$

 （1）∠ABE=∠ACD。证明如下：在△ABE和△ACD中，因为AB=AC，∠A=∠A，AE=AD，所以△ABE≌△ACD（SAS），因此∠ABE=∠ACD。

 （2）证明：由（1）知∠ABE=∠ACD，因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，所以∠ABC - ∠ABE = ∠ACB - ∠ACD，即∠FBC=∠FCB，所以FB=FC。又因为AB=AC，所以点A、F均在线段BC的垂直平分线上，因此直线AF垂直平分线段BC。

 证明：连接 $AP，$

 因为 $PE \perp AB，$$PF \perp AC，$$CH \perp AB，$

 所以 $\triangle ABP$ 的面积 $S_{\triangle ABP} = \frac{1}{2}AB \cdot PE，$

 $\triangle ACP$ 的面积 $S_{\triangle ACP} = \frac{1}{2}AC \cdot PF，$

 $\triangle ABC$ 的面积 $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot CH。$

 由于 $P$ 为底边 $BC$ 上一点，可得 $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABP} + S_{\triangle ACP}，$

 即 $\frac{1}{2}AB \cdot CH = \frac{1}{2}AB \cdot PE + \frac{1}{2}AC \cdot PF。$

 又因为 $AB = AC，$等式两边同时除以 $\frac{1}{2}AB，$

 所以 $CH = PE + PF，$即 $PE + PF = CH。$

 猜想：$PE = PF + CH。$

 证明：连接 $AP，$

 因为 $PE \perp AB，$$PF \perp AC，$$CH \perp AB，$

 所以 $\triangle ABP$ 的面积 $S_{\triangle ABP} = \frac{1}{2}AB \cdot PE，$

 $\triangle ACP$ 的面积 $S_{\triangle ACP} = \frac{1}{2}AC \cdot PF，$

 $\triangle ABC$ 的面积 $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot CH。$

 由于点 $P$ 在线段 $BC$ 的延长线上，可得 $S_{\triangle ABP} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ACP}，$

 即 $\frac{1}{2}AB \cdot PE = \frac{1}{2}AB \cdot CH + \frac{1}{2}AC \cdot PF。$

 又因为 $AB = AC，$等式两边同时除以 $\frac{1}{2}AB，$

 所以 $PE = CH + PF，$即 $PE = PF + CH。$