证明：过点$F$作$FM \perp AB，$垂足为$M，$作$FN \perp BC，$垂足为$N，$连接$BF。$
∵$F$是$\angle BAC$与$\angle BCA$的平分线交点，
∴$BF$是$\angle ABC$的平分线（三角形三条角平分线交于一点），
∴$MF = FN$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵$\angle ABC = 60^\circ，$四边形$BMFN$中，$\angle BMF = \angle BNF = 90^\circ，$
∴$\angle MFN = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 120^\circ。$
在$\triangle ABC$中，$\angle BAC + \angle BCA = 180^\circ - \angle B = 120^\circ，$
∵$AD，$$CE$分别平分$\angle BAC，$$\angle BCA，$
∴$\angle FAC = \frac{1}{2}\angle BAC，$$\angle FCA = \frac{1}{2}\angle BCA，$
∴$\angle FAC + \angle FCA = \frac{1}{2}(\angle BAC + \angle BCA) = 60^\circ，$
∴$\angle CFA = 180^\circ - (\angle FAC + \angle FCA) = 120^\circ，$
∴$\angle DFE = \angle CFA = 120^\circ$（对顶角相等），
即$\angle MFN = \angle DFE = 120^\circ。$
∵$\angle MFN = \angle MFD + \angle DFN，$$\angle DFE = \angle DFN + \angle NFE，$
∴$\angle MFD = \angle NFE。$
在$\triangle DMF$和$\triangle ENF$中，
$\begin{cases} \angle DMF = \angle ENF = 90^\circ \\MF = NF \\\angle MFD = \angle NFE \end{cases}，$
∴$\triangle DMF \cong \triangle ENF$（ASA），
∴$FE = FD。$
