第17页 - 同步练习八年级数学苏科版江苏凤凰科学技术出版社

 证明：

 ∵ $AB // CD，$

 ∴ $\angle A = \angle C$（两直线平行，内错角相等）。

 在$\triangle AOB$和$\triangle COD$中，

 $\begin{cases} \angle AOB = \angle COD \quad (\text{对顶角相等}) \\\angle A = \angle C \\AB = CD \end{cases}$

 ∴ $\triangle AOB \cong \triangle COD$（AAS）。

 ∴ $OA = OC，$$OB = OD$（全等三角形对应边相等）。

 ∵ 点$E，$$F$分别是$OA，$$OC$的中点，

 ∴ $OE = \frac{1}{2}OA，$$OF = \frac{1}{2}OC。$

又

 ∵ $OA = OC，$

 ∴ $OE = OF。$

 在$\triangle DOF$和$\triangle BOE$中，

 $\begin{cases} OF = OE \\\angle DOF = \angle BOE \quad (\text{对顶角相等}) \\OD = OB \end{cases}$

 ∴ $\triangle DOF \cong \triangle BOE$（SAS）。

 ∴ $DF = BE$（全等三角形对应边相等）。

 证明：

 （1）

 ∵AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，

 ∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE。

 在△ADC和△ABE中，

 $\left\{\begin{array}{l}AD=AB\\ \angle DAC=\angle BAE\\ AC=AE\end{array}\right.$

 ∴△ADC≌△ABE（SAS）。

 ∴BE=DC。

 （2）

 ∵△ADC≌△ABE（SAS），

 ∴∠ADC=∠ABE。

 ∵∠1=∠2（对顶角相等），

 ∴∠ADC+∠DAB=∠ABE+∠DOB。

 ∵∠DAB=60°，

 ∴∠DOB=∠DAB=60°，即∠BOD=60°。

$如图①,当△ABC≌△A'B'C'时,∠C'=∠C=70°;$

$如图②,当△ABC 与△A'B'C'不全等时,取 CC'的中点 D,连接AD,$

$证明△ADC≌△ADC',$

$所以∠AC'C=∠C=70°,$

$所以∠AC'B=180°-70°=110°.$

$综上∠A'C'B'为70°或110°$

【答案】：
如图①,当△ABC≌△A'B'C'时,∠C'=∠C=70°;如图②,当△ABC 与△A'B'C'不全等时,取 CC'的中点 D,连接AD,证明△ADC≌△ADC',所以∠AC'C=∠C=70°,所以∠AC'B=180°-70°=110°.综上∠A'C'B'为70°或110°

【解析】：
情况一：当△ABC≌△A'B'C'时，∠C'=∠C=70°。
情况二：当△ABC与△A'B'C'不全等时，在△ABC和△A'B'C'中，∠B=∠B'=30°，AB=A'B'=6，AC=A'C'=4。以A为圆心，AC长为半径画弧，交BC于C和另一点C''（C''与C不重合），则AC''=AC=4。连接AC''，则△ABC''满足条件。在△ACC''中，AC=AC''=4，过A作AD⊥BC于D，则AD平分∠CAC''，CD=C''D。∠C=70°，则∠ACB=70°，∠ACC''=70°，所以∠AC''B=180°-∠ACC''=110°，即∠C'=110°。
综上，∠C'的度数为70°或110°。