第3页 - 同步练习八年级数学苏科版江苏凤凰科学技术出版社

 证明：

 ∵ $ AB ＞ AC ，$

 ∴ $ \angle ACB ＞ \angle ABC $（在三角形中，大边对大角）。

 ∵ $ \angle BDA = \angle BAD ，$

 ∴ $ \angle ABC = \angle BAD + \angle ADB = 2\angle ADB $（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）。

 同理，

 ∵ $ \angle CEA = \angle EAC ，$

 ∴ $ \angle ACB = \angle CAE + \angle AEC = 2\angle AEC 。$

 ∵ $ \angle ACB ＞ \angle ABC ，$

 ∴ $ 2\angle AEC ＞ 2\angle ADB ，$即 $ \angle AEC ＞ \angle ADB 。$

 在 $ \triangle ADE $ 中，

 ∵ $ \angle AEC ＞ \angle ADB ，$

 ∴ $ AD ＞ AE $（在三角形中，大角对大边）。

＜

＞

$解：$

$因为a - b - c\lt0，b - a - c\lt0，c + b - a\gt0。$

$根据绝对值的性质：当x\lt0时，\vert x\vert=-x；$

$当x\gt0时，\vert x\vert=x。$

$则\vert a - b - c\vert=-(a - b - c)=b + c - a；$

$\vert b - a - c\vert=-(b - a - c)=a + c - b；$

$\vert c + b - a\vert=c + b - a。$

$所以\vert a - b - c\vert+\vert b - a - c\vert-\vert c + b - a\vert$

$=(b + c - a)+(a + c - b)-(c + b - a)。$

$去括号得：b + c - a+a + c - b - c - b + a。$

$合并同类项：(-a + a+a)+(b - b - b)+(c + c - c)$

$=a - b + c。$

＜

$（2）解：\triangle BPC的周长\lt\triangle ABC的周长。$

$理由：延长BP交AC于点M。$

$在\triangle ABM中，$

$AB + AM\gt BM=BP + PM$

$（三角形两边之和大于第三边）；$

$在\triangle PMC中，$

$PM + MC\gt PC（三角形两边之和大于第三边）。$

$两式相加得：$

$AB + AM+PM + MC\gt BP + PM+PC，$

$即AB + AC\gt BP + PC。$

$因为\triangle BPC的周长=BP + PC+BC，$

$\triangle ABC的周长=AB + AC+BC，$

$所以\triangle BPC的周长\lt\triangle ABC的周长。$

$（3）解：四边形BP_{1}P_{2}C的周长\lt\triangle ABC的周长。$

$理由：分别延长BP_{1}、CP_{2}交于点M。$

$由（2）知，在\triangle MBC中，$

$\triangle MBC的周长\lt\triangle ABC的周长$

$（AB + AC\gt BM + CM）。$

$在\triangle MP_{1}P_{2}中，P_{1}P_{2}\lt MP_{1}+MP_{2}$

$（三角形两边之和大于第三边）。$

$四边形BP_{1}P_{2}C的周长=BP_{1}+P_{1}P_{2}+P_{2}C + BC，$

$\triangle MBC的周长=BM + CM+BC，$

$而BM=BP_{1}+MP_{1}，CM = CP_{2}+MP_{2}。$

$所以四边形BP_{1}P_{2}C的周长$

$=BP_{1}+P_{1}P_{2}+P_{2}C + BC\lt BP_{1}+MP_{1}+MP_{2}+P_{2}C + BC$

$=(BP_{1}+MP_{1})+(MP_{2}+P_{2}C)+BC$

$=BM + CM+BC\lt AB + AC+BC（\triangle ABC的周长）。$