解：$(1)$∵$AD$是$△ABC$的高
∴$∠ADC=∠ADB=90°$
∴$∠FBD+∠BFD=90°$
∵$BE$是$△ABC$的高，∴$∠BEA=90°$
∴$∠AFE+∠DAC=90°$
∵$∠BFD=∠AFE，$∴$∠FBD=∠CAD$
在$△DAC$和$△DBF$中
$ \begin {cases}{∠DAC=∠DBF}\\{∠ADC=∠BDF}\\{DC=DF}\end {cases}$
∴$△DAC≌△ DBF(\mathrm {AAS})$
∴$BD=AD$
∴$ ABD$为等腰直角三角形，∴$∠ABC=45°$
$(2)CE+CG=BH，$证明如下：
在$HB$上截取$HM=CE，$连接$GM$
∵$BE$是$△ABC$的高，$GH⊥BH$
∴$∠H=∠BEC=90°，$$∠BGH=90°-∠3$
在$△BEC$和$△GHM$中
$ \begin {cases}{GH=BE}\\{∠H=∠BEC=90°}\\{MH=CE}\end {cases}$
∴$△BEC≌△ GHM(S AS)$
∴$GM=BC，$$∠1=∠2$
由$(2)$可知：$∠ABC=45°，$即$∠2+∠3=45°$
∴$∠BGM=∠BGH-∠1=90°-∠3-∠1$
$=90°-(∠3+∠2)=45°$
∴$∠BGM=∠ABC=45°，$即$∠BGM=∠G BC$
在$△BGM$和$△G BC$中
$ \begin {cases}{GM=BC}\\{∠BGM=∠G BC}\\{G B=BG}\end {cases}$
∴$△BGM≌△ G BC(S AS)$
∴$CG=MB$
∴$CE+CG=MH+MB=BH$
