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解：$(1)$∵$ AD $是$△ ABC $的中线，$AB=AC，$∴$ AD⊥BC$

∵$△ ABC $的面积是$ 20，$且$ BC=4$

∴$ \frac 12BC·AD=20，$∴$ \frac 12×4×AD=20$

∴$ AD=10$

$(2)$∵$ AD $是$△ ABC $的中线，$AB=AC，$$∠CAD=20°$

∴$ ∠CAB=2∠CAD=40°$

∴$ ∠B=∠ACB=\frac 12(180°-∠CAB)=70°$

∵$ CE $是$△ ABC $的角平分线，∴$ ∠ACE=\frac 12∠ACB=35°$

解：∵$AC=4，$$CD=3，$$AD=5$

∴$3^2+4^2=25=5^2，$∴$AC^2+CD^2=AD^2$

∴$△ACD$是直角三角形，$∠C=90°$

在$Rt△ABC$中，$AC=4，$$AB=4\sqrt 5$

∴$BC=\sqrt {AB^2-AC^2}=8$

∴$ BD=BC-CD=8-3=5$

17

$ \sqrt {17}$

解：$(2)$如图所示

$(3)$设点$N$表示的数为$x$

由题意可得$1-x=\sqrt {17}-1$

解得$x=2-\sqrt {17}$

∴点$N$表示的数为$2-\sqrt {17}$

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