解：$(1)AC⊥BD，$证明如下：
∵$△ABC$是等边三角形，∴$AB=BC=2，$$∠ABC=∠ACB=60°$
∵$ DCE$由$△ABC$平移得到的
∴$DC=AB=BC=CE=DE=2，$$∠DCE=∠ABC=∠ACB=60°$
∴$∠CBD=∠CDB=\frac 12∠DCE=30°$
∴$∠BF C=180°-∠CBD-∠ACB=90°，$∴$AC⊥BD$
$(2)$∵$∠ACB=∠E=60°，$∴$AC//DE$
∵$BD⊥AC，$∴$BD⊥DE，$∴$∠BDE=90°$
∵$BE=BC+CE=4，$$DE=2，$∴$BD=\sqrt {BE^2-DE^2}=2\sqrt 3$
