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直角

$\frac{60}{13}$

 解：因为$\angle ABC=90^{\circ}，$$AB=1，$$BC=2，$所以$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=1^{2}+2^{2}=5，$则$AC=\sqrt{5}。$在$\triangle ACD$中，$AD=3，$$CD=2，$$AC=\sqrt{5}，$因为$AC^{2}+CD^{2}=(\sqrt{5})^{2}+2^{2}=5 + 4=9=AD^{2}，$所以$\angle ACD=90^{\circ}。$所以四边形$ABCD$的面积为$S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACD}=\frac{1\times2}{2}+\frac{\sqrt{5}\times2}{2}=1+\sqrt{5}。$

 (1)证明：因为$DE\perp AC，$$CE=1，$$DE=2，$所以$CD^{2}=CE^{2}+DE^{2}=1^{2}+2^{2}=5。$因为$AE=4，$所以$AC=AE + CE=4 + 1=5，$$AD^{2}=AE^{2}+DE^{2}=4^{2}+2^{2}=20。$因为$AD^{2}+CD^{2}=20 + 5=25=AC^{2}，$所以$\angle ADC=90^{\circ}。$

 (2)解：因为$AD$是$\triangle ABC$的中线，所以$BD=DC，$由

 (1)知$CD=\sqrt{5}，$所以$BD=\sqrt{5}。$在$Rt\triangle ABD$中，$AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}=20 + 5=25，$则$AB=5。$因为$DF$是$\triangle ABD$的中线，所以$DF=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}。$