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解：$(1)$∵$a=7，$$b=24，$$c=25，$且$c $为最长边

$a^2+b^2=7^2+24^2=49 + 576=625，$$c^2=25^2=625$

∴$a^2+b^2=c^2，$该三角形是直角三角形。

$(2)$∵$a=2.5，$$b=2，$$c=1.5，$且$a$为最长边

$b^2+c^2=2^2+1.5^2=4 + 2.25=6.25，$$a^2=2.5^2=6.25$

∴$b^2+c^2=a^2，$该三角形是直角三角形

$(3)$∵$a=\frac 54，$$b=1，$$c=\frac 53，$且$c $为最长边

$a^2+b^2=(\frac 54)^2+1^2=\frac {25}{16}+1=\frac {41}{16}，$$c^2=(\frac 53)^2=\frac {25}9，$$\frac {41}{16}\neq \frac {25}9$

∴该三角形不是直角三角形

$ (4)$∵$a=\sqrt 3，$$b=\sqrt {^2}，$$c=\sqrt 5，$且$c $为最长边

$a^2+b^2=(\sqrt 3)^2+(\sqrt {^2})^2=3 + 2=5，$$c^2=(\sqrt 5)^2=5$

∴$a^2+b^2=c^2，$该三角形是直角三角形

 (1)证明：因为$AD\perp BC，$所以$\triangle ABD$和$\triangle ACD$是直角三角形。在$Rt\triangle ABD$中，$BD=1，$$AD=2\sqrt{2}，$所以$AB^{2}=BD^{2}+AD^{2}=1^{2}+(2\sqrt{2})^{2}=1 + 8=9，$则$AB=3。$在$Rt\triangle ACD$中，$CD=8，$$AD=2\sqrt{2}，$所以$AC^{2}=CD^{2}+AD^{2}=8^{2}+(2\sqrt{2})^{2}=64 + 8=72。$因为$BC=BD + CD=1 + 8=9，$所以$BC^{2}=81。$又因为$AB^{2}+AC^{2}=9 + 72=81=BC^{2}，$所以$\angle BAC=90^{\circ}。$

 (2)解：因为$\triangle ABP$为等腰三角形，分三种情况讨论：

 ①当$AB=BP$时，$AB=3，$所以$BP=3；$

 ②当$AB=AP$时，在$Rt\triangle APD$中，$AP=AB=3，$$AD=2\sqrt{2}，$所以$PD=\sqrt{AP^{2}-AD^{2}}=\sqrt{9 - 8}=1，$则$BP=BD + PD=1 + 1=2；$

 ③当$AP=BP$时，设$BP=x，$则$PD=x - 1，$在$Rt\triangle APD$中，$AP^{2}=AD^{2}+PD^{2}，$即$x^{2}=(2\sqrt{2})^{2}+(x - 1)^{2}，$解得$x=\frac{9}{2}。$

 综上，$BP$的长为$2$或$3$或$\frac{9}{2}。$