$(1)$证明：∵$AC⊥BD，$且$∠CAD=45°$
∴$AC=CD$
在$Rt△ABC$和$Rt△DEC$中
$\begin {cases}{AC=DC}\\{AB=DE}\end {cases}$
∴$Rt△ABC≌Rt△DEC(\mathrm {HL})$
$(2)$∵$△ ABC≌△DEC，$∴$∠BAC=∠EDC$
∵$∠EDC+∠CED=90°，$$∠CED=∠AEF$
∴$∠AEF+∠BAC=90°，$∴$∠AFE=90°，$∴$DF⊥AB$
$(3)$∵$S_{△BCE}+S_{△ACD}=S_{△ABD}-S_{△ABE}$
∴$\frac 12a^2+\frac 12b^2=\frac 12·c·DF-\frac 12·c·EF$
$=\frac 12·c·(DF-EF)=\frac 12·c·DE=\frac 12c^2$
∴$a^2+b^2=c^2$
