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解：作$AD\perp BC$于$D，$设$BD=x，$则$CD=28-x$

在$Rt\triangle ABD$中，$AD^2=AB^2-BD^2=30^2-x^2$

在$Rt\triangle ACD$中，$AD^2=AC^2-CD^2=26^2-(28-x)^2$

∴$30^2-x^2=26^2-(28-x)^2，$解得$x=18$

则$AD=\sqrt {30^2-18^2}=24$

∴$\triangle ABC$的面积$=\frac 12×28×24=336$

$ (1)$证明：∵$AB=AC，$∴$∠ABC=∠ACB$

∵$BD，$$CE$是高，∴$∠BDC=∠CEB=90^\circ$

在$\triangle BEC$和$\triangle CDB$中

$\begin {cases}∠BEC=∠CDB\\∠EBC=∠DCB\\BC=CB\end {cases}$

∴$\triangle BEC≌\triangle CDB(\mathrm {AAS})，$∴$BE=CD$

在$\triangle BEP $和$\triangle CDP {中}$

$\begin {cases}∠BEP=∠CDP\\∠EP B=∠DP C\\BE=CD\end {cases}$

∴$\triangle BEP≌\triangle CDP(\mathrm {AAS})，$∴$P B=P C$

$(2)$∵$P B=10，$$P D=6，$∴$BD=P B+P D=16$

∵$P C=P B=10$

在$Rt\triangle P DC$中，$CD=\sqrt {P C^2-P D^2}=\sqrt {10^2-6^2}=8$

∵$AB=AC，$$BD\perp AC，$∴$AB=AD+CD=AD+8$

在$Rt\triangle ABD$中，$AB^2=AD^2+BD^2$

∴$(AD+8)^2=AD^2+16^2$

解得$AD=12$

∴$AC=AD+CD=12+8=20$