解：$(1)$由数轴知$a ＜ -2，$$1 ＜ b ＜ 2$
则$a ＜ 0，$$a + b ＜ 0，$$b - 2 ＜ 0，$$\vert a\vert = -a，$$\vert a + b\vert = -a - b，$$\vert b - 2\vert = 2 - b$
原式$= -a - (-a - b) + (2 - b) = -a + a + b + 2 - b = 2$
$(2)$由非负性得$a + 4 = 0$且$b - a - 5 = 0$
解得$a = -4，$$b = 1，$$a^2 + 9b = 16 + 9 = 25，$平方根为$\pm 5$
