第41页 - 苏科版八年级数学课课练答案（上下册）

解：$(1)$由题意，得$ BM=2\ \mathrm {t} {cm}，$$BN=(12-3\ \mathrm {t}) {cm}$

则当$ BM=BN $时，$△BMN $是等边三角形

∴$2t=12-3\ \mathrm {t}，$解得$ t=\frac {12}5$

∴$ $经过$ \frac {12}5\ \mathrm {s} $时，$△ BMN $为等边三角形

$(2)$∵$△ABC $是等边三角形，∴$∠B=60°$

分以下两种情况：$①$当$ ∠BMN=90° $时，

∵$∠B=60°，$∴$∠BNM=30°，$∴$BM=\frac 12BN$

∴$2t=\frac 12(12-3\ \mathrm {t})，$∴$t=\frac {12}7$

$②$当$ ∠BNM=90° $时

∵$∠B=60°，$∴$∠BMN=30°，$∴$BN=\frac 12BM$

∴$12-3t=\frac 12×2t，$∴$t=3$

∴$ $在点$ M，$$N $运动过程中，当运动时间为$\frac {12}7$或$3\ \mathrm {s} $时，

$△BMN$是直角三角形

$ (1)$证明： ∵$∆ABD、$$∆ACE$是等边三角形

∴$AD=AB，$$AC=AE，$$∠BAD=∠CAE=60°$

∴$∠DAC=∠BAE$

$ $在$∆DAC$和$∆BAE$中

$\begin {cases}\ \mathrm {A}D=AB\\∠DAC=∠BAE\\AC=AE \end {cases}$

∴$∆DAC≌∆BAE(S AS)$

∴$CD=BE$

$ (2)∠BP C=120°$

由$(1)$知$∆DAC≌∆BAE，$∴$∠ACD=∠AEB$

∵$∠AEC=60°$

∴$∠PEC=∠AEC-∠AEB=60°-∠ACD$

∴$∠BP C=∠P CE+∠PEC=∠ACD+60°-∠ACD=120°$

$ (3)$证明：过$A$作$AM⊥CD$于$M，$$AN⊥BE$于$N$

∵$∆DAC≌∆BAE$

∴$S_{△DAC}=S△∆BAE$

又$CD=BE，$∴$AM=AN$

∴$AP $平分$∠DPE$